$AlexLat$

Найдите все значения p, при которых уравнение sin²x + 4sinx + p = 0 имеет корни.

   Решение.

    1-й способ.

    sin²x + 4sinx = - p

   Рассмотрим функцию y = sinx(sinx+4)

   -1  sinx  1;

   3  sinx + 4  5;

   -3  sinx(sin x + 4)  5; (мы неравенства перемножили, умножение неравенств необходимо производить на двух промежутках [-1;0] и [0;1],

   на первом промежутке все слагаемые отрицательные, а на втором - положительные, при x = 0 функция принимает значение 0).

    Если p [-5; 3], то уравнение sin²x + 4sinx + p = 0 имеет корни.

    2-й способ.

   Пусть t = sinx, тогда получим квадратное уравнение с параметром t² + 4t +p = 0. Как мы уже установили в решении Задания 2, это уравнение имеет корни, 

   если p( -; - 4], причем t₁ = -2 -  и t₂ = -2 + . Уравнение sinx = a имеет корни, если -1  a  1, следовательно, нам необходимо решить

   еще два неравенства:

   -1  -2 -   1; (*)

    -1  -2 +   1; (**)

   Неравенство (*) решений не имеет, так как выражение -2 -  при любых p ≤ 4 принимает отрицательные значения не большие -2.

  (легко проверить перебором нескольких значений p = 4, 3,... ).

  Преобразуем неравенство (**):

   1    3 (к трем частям двойного неравенства прибавили 2)

   1  4 - p  9; (все три части двойного неравенства положительны, поэтому их можно возвести в квадрат}

   -3  - p  5; (прибавим к трем частям неравенства -4)

   -5 ≤ p ≤ 3; (умножаем встри части двойного неравенства на -1, меняя знак неравенства)

   Таким образом, если p  [-5; 3], то уравнение sin²x + 4sinx + p = 0 имеет корни.