Вывод и анализ формул Френеля на основе электромагнитной теории Максвелла. - Физика - Физика - Каталог статей - AlexLat
Главная » Статьи » Физика » Физика

Вывод и анализ формул Френеля на основе электромагнитной теории Максвелла.

Вывод и анализ формул Френеля на основе электромагнитной теории Максвелла.

 

 

Постановка задачи

  Пусть  имеются две диэлектрические среды 1 и 2 , с  электрической и магнитной проницаемостью ξ1,μ1  и   ξ2,μ2 соответственно. Из среды 1 в 2 падает плоская монохроматическая волна  (границу раздела будем считать плоской).При  переходе через  границу раздела волна разделится  на две части : отраженную волну (в среде 1)  и преломленную волну (в среде 2) , необходимо выяснить соотношения между углами α, α’и β, а также между  интенсивностями  падающей и отраженной волн (рис 1).

                             рис.1

Данная  волна должна представлять собой точное  решение уравнений Максвелла :  и   (1)   (учитывая , что среда диэлектрическая , т.е. λ = 0 )

для плоской монохроматической волны точное решение этих уравнений будет (если оси Х направить в сторону распространения волны):

     и   (Ex = Hx = 0)       (2)

где  A и Bφ и   ⍦, - постоянные (не зависят от времени и координаты) ,

         и ξ и μ- характеристики среды , в которой распространяется волна ,

       τ =t-x/V , t - рассматриваемый момент времени

                             x - рассматриваемая координата на оси Х                      

                             V - скорость распространения волны в данной среде

(естественно , в силу линейности уравнений Максвелла любая сумма таких волн будет также их точным  решением )  Также она должна удовлетворять условиям на границе раздела : Eτ и Bn не терпят разрыва на поверхности раздела ,   Hτ и Dn также не терпят разрыва , поскольку на границе раздела не течет ток и нет поверхностной плотности заряда:

                (3)

(индексом 1 обозначаем все , относящееся к первой среде , индексом 2 - ко второй)

   Таким образом  , необходимо построить точное решение уравнений  (1) , удовлетворяющих  условиям  (3). Для этого рассмотрим два случая : случай  ТМ -волны (р-волны )  - вектор Ĥ перпендикулярен плоскости падения  (трансверсальная магнитная) , и случай ТЕ-волны (s-волны)- вектор Ē перпендикулярен плоскости падения  (трансверсальная электрическая). Любая плоская волна (с любой поляризацией) может быть представлена как линейная комбинация двух таких волн.

Случай  ТМ -волны (p - волны)

                                       рис.2

Из рисунка видео , что   , запишем условия равенства  Eτ на  границе раздела :

    ( учитывая , что волна в среде 1 есть сумма падающей и отраженной волн)

подставляем значения Eτ :

 подставляем  Ey из  (2) :

       

Аналогично , поскольку  Hτ =Hz получаем для вектора Ĥ на границе раздела:

 ( c учетом (2) )

для выполнения равенств для Eτи Hτ   потребуем  равенства  аргументов косинусов :

потребуем также равенства начальных фаз: φ1=φ1’=φ2=φ

из рисунка видно , что : θ1= α,θ’1= π - α’,θ2= β    ,     (4)

(α,α’и β - соответственно : угол падения , угол отражения и угол преломления ) , тогда имеем :

из равенства аргументов получаем :

 

 (т.к.  ,  )

т.е. получены , как и следовало ожидать , законы отражения и преломления света

разделим теперь  выражения для Eτ и Hτ на   , получим (c учетом (4) ) следующую систему :

      (5)

здесь неизвестными являются  A2 и A’1,  , а A1 - заданно.

 Умножим   первое уравнение на   а второе на   и вычтем из первого второе , тогда члены с A2 сократятся и получим:

поскольку для неферромагнетиков  магнитная проницаемостьμ незначительно отличается от единицы , то для сравнительно широкого класса сред можно считать  μ1= μ2, тогда:

.    

( разделим числитель и знаменатель на , и учтя , что ) 

применив закон преломления , получим (6):

 

из второго уравнения системы (5) получаем для A2:

   (поскольку полагаем μ1=μ2,) , тогда:

      (7)

проверим теперь выполнение еще двух условий на границе раздела ,которые мы не учли - и . Второе равенство выполняется заведомо , поскольку  , проверим первое равенство  :

 из рисунка видно , что   , а   подставим значения  Ey1, E’y1 и Ey2  ( из 2) , сократив сразу на  , и учитывая  (4) :

(выражая A2 через второе уравнение системы  (5) )

 Таким  образом  действительно получено точное решение уравнений (2) , удовлетворяющее всем начальным условия. Итак , имеем  следующие формулы Френеля для случая s-волны для отражения и преломления (из (6) и (7) ):

    и      

Случай  ТЕ -волны ( s - волны)

                                      рис.3

Из рисунка видно , что 

Условия  (3) для  Hτ и  Eτ:  и 

подставляя значения  и  H из (2) получим :

как и в случае  ТМ-волны  предполагаем равенство аргументов косинусов и совершенно аналогично получаем в этом случае закон отражения и преломления света , сокращая на  и с учетом (4)  получим систему :

             (8)

умножим первое уравнение на   а второе на  и вычтем из первого второе :

поскольку мы полагаем   (см. выше) то 

   (9)

из второго уравнения системы (8) получаем:

      (10)

проверим  теперь неучтенные условия на границе раздела :  и    .

Второе условие выполняется , поскольку  , проверим выполнение равенства :    из рисунка видно , что  , а   подставим значения Hy1,H’y1 и Hy2( из 2) , сократив сразу на  , и учитывая  (4) получим :

подставляем B2 из второго уравнения системы (8) :

таким образом мы действительно нашли точное решение уравнений (2) , удовлетворяющее всем начальным условиям . В случае p-волны имеем следующие формулы Френеля для отражения и преломления  (из (9) и (10))

    и

 

Анализ формул Френеля

  Исследуем отношения энергий (точнее плотности потока энергий ) падающей и отраженной  ТМ и ТЕ  волн и падающей и  прошедшей волн  в зависимости от угла падения α. Для этого рассмотрим  отношение нормальной составляющей вектора Пойтинга    падающей и отраженной  (yp и yz в случае ТМ и ТЕ волн  соответственно)  и падающей и прошедшей (ƒp

и ƒz)  волн. Тогда с из  полученных формул Френеля для отражения и преломления , с учетом (2) будем иметь:

               

А. Отражение

 Исследуем  сначала  поведение и  на границах отрезка :

при  α →0(просто положить α равным нулю нельзя , потому что будет неопределенность ):

для случая падения из воздуха в стекло (n=153) :   

т.е. это величина порядка нескольких процентов (можно заметить , что если поменять среды местами  - т.е. рассматривать падение из воды в воздух , то это значение не изменится)

 В случае падения из оптически менее плотной среды в оптически более плотную  при:

            

 Действительно, преломленной  волны при скользящем падении не образуется и интенсивность                   падающей волны не меняется.

  В случае падения из оптически более плотной среды в оптически менее плотную , необходимо учесть явление полного внутреннего отражения , когда прошедшей волны нет - вся волна отражается от  поверхности раздела. Это происходит при  значениях α больших , чем  αxp, вычисляемого следующим образом:

 Для падения из стекла в воздух

Здесь не рассматривается  полное внутреннее отражение , поэтому α в случае падения из оптически более плотной среды в оптически менее плотную  изменяется до αxp, в этом случае:

        

 

 Далее исследуем  поведение  этих функций между крайними точками , для этого исследуем на монотонность функции:   и

Нам понадобится производная , найдем ее как производную функции , заданной неявно :

 

Знак этой  производной ( поскольку  , ) зависит только от  знака  выражения  , это выражение > 0  , когда β < α (то есть падение из оптически мене плотной среды в оптически более плотную ) и  <0 , когда  β > α  (из более оптически плотной в менее оптически плотную ) , следовательно в первом случае     монотонно возрастает, а  во  втором , убывает . Но  в случае    , следовательно  по модулю это выражение будет возрастать , в случае оно также будет по модулю  возрастать . Таким образом  , rz , как квадрат этого выражения , в обоих случаях  монотонно возрастает  от  при α = 0 до  1 при .или

 Знак этой производной ,( поскольку  ,

есть >0 при  и  <0 при .

 Знак функции  меняется следующим образом :

при   если α невелико>0 , но эта функция  проходит через нуль. Поскольку числитель , при рассматриваемых пределах изменения α в 0 обращаться не может    это происходит тогда , когда знаменатель обращается в бесконечность т.е.:

Это есть угол Брюстера () , при котором  rp обращается в 0 , то есть отраженная волна отсутствует . Для  случая падения из воздуха в стекло , для обратного случая (из стекла в воздух) При переходе через этот угол  меняет знак на минус  , следовательно  rp как квадрат этой функции сначала  убывает (до нуля) , а затем возрастает (до 1).

 При    для  небольших α<0 , при переходе через  знак будет меняться  на плюс. Переход через  действительно будет  иметь место , хотя α изменяется до αxp ,а не до  π/2, поскольку   . Таким образом  rp снова  монотонно убывает до 0 , а затем  монотонно возрастает до 1.

  Итак , в обоих случаях  rp сначала монотонно убывает от при α = 0до 0 при  , а затем монотонно возрастает до 1 при α = π/2 или α =αxp  

 

 Полученные  зависимости  иллюстрируются следующими графиками :

на первом показана зависимость (сплошная линия) и (пунктирная линия) от α для случая падения волны из воздуха в стекло (n=1.51)

на втором -для случая падения волны из стекла в воздух

В. Преломление

    Для анализа поведения  и  воспользуемся следующим соображением - падающая волна на границе раздела  разделяется на две - прошедшую  и отраженную  , причем энергия падающей  волны (энергия , переносимая волной  через границу раздела сред) уходит в энергию отраженной  и преломленной волн (поскольку никаких других источников нет). Поэтому , поскольку коэффициент  показывает отношение энергии прошедшей волны к энергии падающей ,  - отношение энергии  отраженной волны к энергии падающей в p-волне , а  и  - аналогичные отношения в s-волне , должны выполнятся соотношения :

                и    

  Действительно , проверим это :

рассмотрим отдельно числитель:

таким образом действительно  , аналогично

   Таким образом , используя предыдущее исследование  , можно сказать , что :

 

  Для случая падения из воздуха в стекло (а можно заметить , что если среды поменять местами , то это значение не изменится )

 Между  этими точками  и  ведут себя противоположно и  .

 Окончательно ,  монотонно возрастает от   ( )до  , а затем монотонно убывает до 0 ( при  ) ,  монотонно убывает от  до 0 (при тех же пределах изменения). Причем как для случая падения из менее оптически плотной среды , так и из более оптически плотной. Ниже на рисунке представлены графически зависимости для обоих этих случаев.

С. Набег фаз при отражении и преломлении

  Из формул Френеля следует , что отношения  ,,и  могут в принципе получится и отрицательными . Поскольку амплитуда есть существенно положительная величина , в  этом случае имеет место сдвиг фазы волны на . Далее выясним , когда такой сдвиг имеет место.

   В случае отраженной p-волны     , как установлено в п. А , эта функция

при n>1 больше 0 при  и меньше 0 при , при n<0 промежутки знакопостоянства меняются местами . Таким образом , в случае падения из менее оптически плотной среды в более плотную сдвиг фаз на в отраженной p-волне наблюдается при  , а в случае падения из более плотной в менее плотную - при.

   В случае отраженной s-волны  , эта функция меньше 0 при  и больше 0 в противном случае. Таким образом , сдвиг фаз на в отраженной s-волне наблюдается при падении из менее оптически плотной среды в более плотную , и не наблюдается при падении из более плотной среды в менее плотную.

   В случае произвольно падающей линейно поляризованной волны , которая представляется в виде суммы p и s-волн , в отраженной волне , таким образом , можно получить , в общем случае волну произвольной (эллиптической) поляризации .

   Для исследования сдвига фаз в прошедшей волне , воспользуемся соотношениями , возникшими как промежуточные результаты при выводе  (7) и (10) :

                    и    

из этих соотношений видно , что , поскольку    и  , то всегда и  . То есть , в прошедшей волне изменения фазы не происходит (причем это верно для волн произвольной поляризации).

Категория: Физика | Добавил: alexlat (29.06.2012)
Просмотров: 1614 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]