Вывод и анализ формул Френеля на основе электромагнитной теории Максвелла. - Физика - Физика - Каталог статей

Вывод и анализ формул Френеля на основе электромагнитной теории Максвелла.

Вывод и анализ формул Френеля на основе электромагнитной теории Максвелла.

Постановка задачи

Пусть имеются две диэлектрические среды 1 и 2 , с электрической и магнитной проницаемостью ξ1,μ1 и ξ2,μ2 соответственно. Из среды 1 в 2 падает плоская монохроматическая волна (границу раздела будем считать плоской).При переходе через границу раздела волна разделится на две части : отраженную волну (в среде 1) и преломленную волну (в среде 2) , необходимо выяснить соотношения между углами α, α’и β, а также между интенсивностями падающей и отраженной волн (рис 1).

рис.1

Данная волна должна представлять собой точное решение уравнений Максвелла : и (1) (учитывая , что среда диэлектрическая , т.е. λ = 0 )

для плоской монохроматической волны точное решение этих уравнений будет (если оси Х направить в сторону распространения волны):

и (Ex = Hx = 0) (2)

где A и B , φ и ⍦, ⍵- постоянные (не зависят от времени и координаты) ,

и ξ и μ- характеристики среды , в которой распространяется волна ,

τ =t-x/V , t - рассматриваемый момент времени

x - рассматриваемая координата на оси Х

V - скорость распространения волны в данной среде

(естественно , в силу линейности уравнений Максвелла любая сумма таких волн будет также их точным решением ) Также она должна удовлетворять условиям на границе раздела : Eτ и Bn не терпят разрыва на поверхности раздела , Hτ и Dn также не терпят разрыва , поскольку на границе раздела не течет ток и нет поверхностной плотности заряда:

(3)

(индексом 1 обозначаем все , относящееся к первой среде , индексом 2 - ко второй)

Таким образом , необходимо построить точное решение уравнений (1) , удовлетворяющих условиям (3). Для этого рассмотрим два случая : случай ТМ -волны (р-волны ) - вектор Ĥ перпендикулярен плоскости падения (трансверсальная магнитная) , и случай ТЕ-волны (s-волны)- вектор Ē перпендикулярен плоскости падения (трансверсальная электрическая). Любая плоская волна (с любой поляризацией) может быть представлена как линейная комбинация двух таких волн.

Случай ТМ -волны (p - волны)

рис.2

Из рисунка видео , что , запишем условия равенства Eτ на границе раздела :

( учитывая , что волна в среде 1 есть сумма падающей и отраженной волн)

подставляем значения Eτ :

подставляем Ey из (2) :

Аналогично , поскольку Hτ =Hz получаем для вектора Ĥ на границе раздела:

( c учетом (2) )

для выполнения равенств для Eτи Hτ потребуем равенства аргументов косинусов :

потребуем также равенства начальных фаз: φ1=φ1’=φ2=φ

из рисунка видно , что : θ1= α,θ’1= π - α’,θ2= β , (4)

(α,α’и β - соответственно : угол падения , угол отражения и угол преломления ) , тогда имеем :

из равенства аргументов получаем :

(т.к. , )

т.е. получены , как и следовало ожидать , законы отражения и преломления света

разделим теперь выражения для Eτ и Hτ на , получим (c учетом (4) ) следующую систему :

(5)

здесь неизвестными являются A2 и A’1, , а A1 - заданно.

Умножим первое уравнение на а второе на и вычтем из первого второе , тогда члены с A2 сократятся и получим:

поскольку для неферромагнетиков магнитная проницаемостьμ незначительно отличается от единицы , то для сравнительно широкого класса сред можно считать μ1= μ2, тогда:

( разделим числитель и знаменатель на , и учтя , что )

применив закон преломления , получим (6):

из второго уравнения системы (5) получаем для A2:

(поскольку полагаем μ1=μ2,) , тогда:

(7)

проверим теперь выполнение еще двух условий на границе раздела ,которые мы не учли - и . Второе равенство выполняется заведомо , поскольку , проверим первое равенство :

из рисунка видно , что , а подставим значения Ey1, E’y1 и Ey2 ( из 2) , сократив сразу на , и учитывая (4) :

(выражая A2 через второе уравнение системы (5) )

Таким образом действительно получено точное решение уравнений (2) , удовлетворяющее всем начальным условия. Итак , имеем следующие формулы Френеля для случая s-волны для отражения и преломления (из (6) и (7) ):

Случай ТЕ -волны ( s - волны)

рис.3

Из рисунка видно , что

Условия (3) для Hτ и Eτ: и

подставляя значения E и H из (2) получим :

как и в случае ТМ-волны предполагаем равенство аргументов косинусов и совершенно аналогично получаем в этом случае закон отражения и преломления света , сокращая на и с учетом (4) получим систему :

(8)

умножим первое уравнение на а второе на и вычтем из первого второе :

поскольку мы полагаем (см. выше) то

(9)

из второго уравнения системы (8) получаем:

(10)

проверим теперь неучтенные условия на границе раздела : и .

Второе условие выполняется , поскольку , проверим выполнение равенства : из рисунка видно , что , а подставим значения Hy1,H’y1 и Hy2( из 2) , сократив сразу на , и учитывая (4) получим :

подставляем B2 из второго уравнения системы (8) :

таким образом мы действительно нашли точное решение уравнений (2) , удовлетворяющее всем начальным условиям . В случае p-волны имеем следующие формулы Френеля для отражения и преломления (из (9) и (10))

Анализ формул Френеля

Исследуем отношения энергий (точнее плотности потока энергий ) падающей и отраженной ТМ и ТЕ волн и падающей и прошедшей волн в зависимости от угла падения α. Для этого рассмотрим отношение нормальной составляющей вектора Пойтинга падающей и отраженной (yp и yz в случае ТМ и ТЕ волн соответственно) и падающей и прошедшей (ƒp

и ƒz) волн. Тогда с из полученных формул Френеля для отражения и преломления , с учетом (2) будем иметь:

А. Отражение

Исследуем сначала поведение и на границах отрезка :

при α →0(просто положить α равным нулю нельзя , потому что будет неопределенность ):

для случая падения из воздуха в стекло (n=153) :

т.е. это величина порядка нескольких процентов (можно заметить , что если поменять среды местами - т.е. рассматривать падение из воды в воздух , то это значение не изменится)

В случае падения из оптически менее плотной среды в оптически более плотную при:

Действительно, преломленной волны при скользящем падении не образуется и интенсивность падающей волны не меняется.

В случае падения из оптически более плотной среды в оптически менее плотную , необходимо учесть явление полного внутреннего отражения , когда прошедшей волны нет - вся волна отражается от поверхности раздела. Это происходит при значениях α больших , чем αxp, вычисляемого следующим образом:

Для падения из стекла в воздух

Здесь не рассматривается полное внутреннее отражение , поэтому α в случае падения из оптически более плотной среды в оптически менее плотную изменяется до αxp, в этом случае:

Далее исследуем поведение этих функций между крайними точками , для этого исследуем на монотонность функции: и

Нам понадобится производная , найдем ее как производную функции , заданной неявно :

Знак этой производной ( поскольку , ) зависит только от знака выражения , это выражение > 0 , когда β < α (то есть падение из оптически мене плотной среды в оптически более плотную ) и <0 , когда β > α (из более оптически плотной в менее оптически плотную ) , следовательно в первом случае монотонно возрастает, а во втором , убывает . Но в случае , следовательно по модулю это выражение будет возрастать , в случае оно также будет по модулю возрастать . Таким образом , rz , как квадрат этого выражения , в обоих случаях монотонно возрастает от при α = 0 до 1 при .или.

Знак этой производной ,( поскольку ,

есть >0 при и <0 при .

Знак функции меняется следующим образом :

при если α невелико>0 , но эта функция проходит через нуль. Поскольку числитель , при рассматриваемых пределах изменения α в 0 обращаться не может это происходит тогда , когда знаменатель обращается в бесконечность т.е.:

Это есть угол Брюстера () , при котором rp обращается в 0 , то есть отраженная волна отсутствует . Для случая падения из воздуха в стекло , для обратного случая (из стекла в воздух) При переходе через этот угол меняет знак на минус , следовательно rp как квадрат этой функции сначала убывает (до нуля) , а затем возрастает (до 1).

При для небольших α<0 , при переходе через знак будет меняться на плюс. Переход через действительно будет иметь место , хотя α изменяется до αxp ,а не до π/2, поскольку . Таким образом rp снова монотонно убывает до 0 , а затем монотонно возрастает до 1.

Итак , в обоих случаях rp сначала монотонно убывает от при α = 0до 0 при , а затем монотонно возрастает до 1 при α = π/2 или α =αxp

Полученные зависимости иллюстрируются следующими графиками :

на первом показана зависимость (сплошная линия) и (пунктирная линия) от α для случая падения волны из воздуха в стекло (n=1.51)

на втором -для случая падения волны из стекла в воздух

В. Преломление

Для анализа поведения и воспользуемся следующим соображением - падающая волна на границе раздела разделяется на две - прошедшую и отраженную , причем энергия падающей волны (энергия , переносимая волной через границу раздела сред) уходит в энергию отраженной и преломленной волн (поскольку никаких других источников нет). Поэтому , поскольку коэффициент показывает отношение энергии прошедшей волны к энергии падающей , - отношение энергии отраженной волны к энергии падающей в p-волне , а и - аналогичные отношения в s-волне , должны выполнятся соотношения :

Действительно , проверим это :

рассмотрим отдельно числитель:

таким образом действительно , аналогично

Таким образом , используя предыдущее исследование , можно сказать , что :

Для случая падения из воздуха в стекло (а можно заметить , что если среды поменять местами , то это значение не изменится )

Между этими точками и ведут себя противоположно и .

Окончательно , монотонно возрастает от ( )до , а затем монотонно убывает до 0 ( при ) , монотонно убывает от до 0 (при тех же пределах изменения). Причем как для случая падения из менее оптически плотной среды , так и из более оптически плотной. Ниже на рисунке представлены графически зависимости для обоих этих случаев.

С. Набег фаз при отражении и преломлении

Из формул Френеля следует , что отношения ,,и могут в принципе получится и отрицательными . Поскольку амплитуда есть существенно положительная величина , в этом случае имеет место сдвиг фазы волны на . Далее выясним , когда такой сдвиг имеет место.

В случае отраженной p-волны , как установлено в п. А , эта функция

при n>1 больше 0 при и меньше 0 при , при n<0 промежутки знакопостоянства меняются местами . Таким образом , в случае падения из менее оптически плотной среды в более плотную сдвиг фаз на в отраженной p-волне наблюдается при , а в случае падения из более плотной в менее плотную - при.

В случае отраженной s-волны , эта функция меньше 0 при и больше 0 в противном случае. Таким образом , сдвиг фаз на в отраженной s-волне наблюдается при падении из менее оптически плотной среды в более плотную , и не наблюдается при падении из более плотной среды в менее плотную.

В случае произвольно падающей линейно поляризованной волны , которая представляется в виде суммы p и s-волн , в отраженной волне , таким образом , можно получить , в общем случае волну произвольной (эллиптической) поляризации .

Для исследования сдвига фаз в прошедшей волне , воспользуемся соотношениями , возникшими как промежуточные результаты при выводе (7) и (10) :

из этих соотношений видно , что , поскольку и , то всегда и . То есть , в прошедшей волне изменения фазы не происходит (причем это верно для волн произвольной поляризации).