Введение во фракталы - Фракталы - Физика - Каталог статей - AlexLat
Главная » Статьи » Физика » Фракталы

Введение во фракталы
Введение во фракталы
 
Когда большинству людей казалось, что геометрия в природе ограничивается
такими простыми фигурами, как линия, круг, коническое сечение, многоугольник,
сфера, квадратичная поверхность, а также их комбинациями. К примеру, что
может быть красивее утверждения о том, что планеты в нашей солнечной системе
движутся вокруг солнца по эллиптическим орбитам?
Однако многие природные системы настолько сложны и нерегулярны, что
использование только знакомых объектов классической геометрии для их
моделирования представляется безнадежным. Как к примеру, построить модель
горного хребта или кроны дерева в терминах геометрии? Как описать то
многообразие биологических конфигураций, которое мы наблюдаем в мире растений
и животных? Представьте себе всю сложность системы кровообращения, состоящей
из множества капилляров и сосудов и доставляющей кровь к каждой клеточке
человеческого тела. Представьте, как хитроумно устроены легкие и почки,
напоминающие по структуре деревья с ветвистой кроной.
Столь же сложной и нерегулярной может быть и динамика реальных природных
систем. Как подступиться к моделированию каскадных водопадов или турбулентных
процессов, определяющих погоду?
Фракталы и математический хаос --- подходящие средства для исследования
поставленных вопросов. Термин фрактал относится к некоторой статичной
геометрической конфигурации, такой как мгновенный снимок водопада. Хаос
  термин динамики, используемый для описания явлений, подобных турбулентному
поведению погоды. Нередко то, что мы наблюдаем в природе, интригует нас
бесконечным повторением одного и того же узора, увеличенного или уменьшенного
во сколько угодно раз. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть ветки
поменьше и т.д. Теоретически, элемент «разветвление» повторяется бесконечно
много раз, становясь все меньше и меньше. То же самое можно заметить,
разглядывая фотографию горного рельефа. Попробуйте немного приблизить
изображение горной гряды --- вы снова увидите горы. Так проявляется характерное
для  фракталов свойство самоподобия.

Во многих работах по фракталам самоподобие используется в качестве определяющего
свойства. Следуя Бенуа Мадельброту, мы принимаем точку зрения, согласно которой
фракталы должны определяться в терминах фрактальной (дробной) размерности.
Отсюда и происхождение слова фрактал (от лат. fractus  
дробный).
Понятие дробной размерности представляет собой сложную концепцию, которая
излагается в несколько этапов. Прямая --- это одномерный объект, а плоскость
--- двумерный. Если хорошенько перекрутив прямую и плоскость, можно повысить
размерность полученной конфигурации; при этом новая размерность обычно будет
дробной в некотором смысле, который нам предстоит уточнить. Связь дробной
размерности и самоподобия состоит в том, что с помощью самоподобия можно
сконструировать множество дробной размерности наиболее простым образом. Даже
в случае гораздо более сложных фракталов, таких как граница множества
Мандельброта, когда чистое самоподобие отсутствует, имеется почти полное
повторение базовой формы во все более и более уменьшенном виде.
Многие замечательные свойства фракталов и хаоса открываются при изучении
итерированных отображений. При этом начинают с некоторой функции y = f(x)
и рассматривают поведение последовательности f(x), f(f(x)), f(f(f(x))),...
В комплексной плоскости работы такого рода восходят, по всей видимости, к имени
Кэли, который исследовал метод Ньютона нахождения корня в приложении к
комплексным, а не только к вещественным, функциям (1879). Замечательного
прогресса в изучении итерированных комплексных отображений добились Гастон
Жюлиа и Пьер Фату (1919). Естественно, все было сделано без помощи компьютерной
графики. В наши дни, многие уже видели красочные постеры с изображением
множеств Жюлиа и множества Мандельброта, тесно с ними связанного. Освоение
математической теории хаоса естественно начать именно с итерированных
отображений.
Изучение фракталов и хаоса открывает замечательные возможности, как в
исследовании бесконечного числа приложений, так и в области чистой математики.
Но в то же время, как это часто случается в так называемой новой
математике, открытия опираются на пионерские работы великих математиков
прошлого. Сэр Исаак Ньютон понимал это, говоря: «Если я и видел дальше других,
то только потому, что стоял на плечах гигантов».

Категория: Фракталы | Добавил: alexlat (24.04.2012)
Просмотров: 349 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]