$AlexLat$

Задача затрат

                1.Классификация задач. Начнем изучение задачи равновесия с простых экономических примеров.

            Рассматривая массовое производство каких-нибудь обычных изделий, например - строительство жилых домов (производство автомобилей, компьютеров и т.п.),- мы увидим: всякое такое дело оказывается состоящим из двух взаимосвязанных производств: производства строительных материалов (автомобильных агрегатов, микросхем и проч.) и собственно строительства (сборочного производства). При этом, производство строительных материалов представляет собою процесс разложения сложного природного сырья в ряд простых изделий, например: круглого леса в доски стандартных размеров,- и наоборот: строительное производство есть процесс сборки из простых строительных материалов различных сложных построек. Для нас здесь важно то, что в развитом народном хозяйстве оба эти производства - и произвольный лесопильный завод, и какая-нибудь строительная артель - действуют на различных рынках: в нашем случае - на рынке пиломатериалов и на рынке строительных услуг,- и являются, вообще говоря,  независимыми друг от друга. В терминах народохозяйственной модели "затра­ты-выпуск" Леонтьева (см.1.5.1) задача разложения сырья является задачей затрат, а задача сборки изделий - задачей выпуска.

            Кроме того: всякий управляющий промышленным производством, независимо от того, действует ли он в перерабатывающей или сборочной областях промышленности,  участвует во внешней рыночной деятельности двояким образом:  и как потребитель, покупающий сырье для своего производства, и как производитель, продающий произведенные им изделия.  Покупка сырья составляет его расход, а продажа изделий - доход. По этой причине, задача разумного управления промышленным предприятием оказывается для него состоящей из двух задач: задачи минимизации расходов и, одновременно, - задачи максимизации доходов того же самого промышленного производства. Такая пара задач называется взаимно двойственной.

            В итоге, множество задач научного производственного управления образуется из задач четырех видов: из задачи разложения сырья и задачи сборки изделий, каждая из которых, в свою очередь, распадается в пару прямой и ей двойственной подзадач:

Их точной модельной постановке и посвящена первая глава наших лекций.

            2.Векторные обозначения.  И промышленное сырье, и изделия из него являются товарами, и как всякие товары описываются парой взаимосвязанных величин:  количеством q (от quantity) и ценой p (от price). Поэтому описание производства как преобразования сырья в изделия имеет дело с двумя их связанными парами: количествами и ценами сырья, и количествами и ценами изделий.  Для удобства различения этих величин те из них, которые относятся к сырьевым или первичным товарам, мы будем снабжать первым значком "1”, а относящиеся к производимым или вторичным товарам - значком "2”, например:  q ¹  и  p₁,  q ²  и  p₂ .

            При использовании m видов сырья для производства n видов изделий: m, n = 1, 2, ¼, как их количества, так и цены становятся многокомпонентными или векторными величинами. В матричном исчислении их представляют одностолбцовыми или однострочными матрицами, различение которых связано с несимметричностью закона матричного умножения по правилу "строка на столбец”. Нам будет удобно первые значки количественным векторам приписывать сверху и их составляющие  q ¹₁ , ¼, q ¹_m  и  q ²₁ , ¼, q ²_n  в матричном представлении записывать в виде одностолбцовых   m ´ 1  и  n ´ 1  матриц соответственно:

а те же первые значки ценовым векторам мы будем приписывать снизу:  p₁ и p₂ , и их составляющие p₁ ¹ , ¼, p₁ ^m  и p₂ ¹ , ¼, p₂ ⁿ  записывать в виде однострочных  1 ´ т  и 1 ´ n  матриц:

р₁ = ( p₁ ¹  ¼  p₁ ^m ) ;     р₂ = ( p₂ ¹  ¼  p₂ ⁿ).

            Имеющие одни и те же пространственные размерности количественный и ценовый векторы одного и того же наборов товаров мы будем называть взаимно-двойст­венными векторами. Они обладают тем свойством, что их матричное произведение по правилу "строка на столбец”, например:

дает одноклеточную  1 ´ 1  матрицу или "скаляр” (число)  á p₁ , q ¹ ñ - сумму покомпонентных произведений перемножаемых векторов, называемую их скалярным произведением или, коротко, сверткой этих векторов.

                На протяжении всех наших лекций сторочные латинские буквы с двумя значками будут обозначать одномерные величины или числа, те же буквы с одним значком - соответствующие векторы, а буквы без значков - матрицы или операторы. Причем всегда нижний значок матричных составляющих будет нумеровать строки, а верхний - столбцы.