Построение математической модели

Учитывая характер помехи можно составить следующую имитационную модель системы 

для формирования реализации вектора и состояния системы на интервале определения:

,

Здесь -  вектор состояния системы; - вектор состояния модели;   -

 матрицы коэффициентов модели.

t Є [0,T], T = 20 U(t)=15-0 .1t,  .

Здесь [0, T] – интервал определения системы.

Уравнение выхода системы:

 ,  , .

Здесь - вектор наблюдения; - вектор помехи; C   – матрица коэффициентов 

(параметров) системы.

Значение параметров системы:

, . 

Здесь А, В – матрицы коэффициентов (параметров) системы.

Характер помехи и ее статистические параметры:

Помеха имеет нормальное распределение с математическим ожиданием, 

равным .

Алгоритм реализации решения задачи построения 

динамической модели

Идея построения требуемой динамической системы состоит в следующем: 

для заданного значения параметра t с его интервала определения градиентным 

методом первого порядка находим соответствующее значение параметра x, 

который изменяется динамически. Поэтому необходимо в каждый момент t_i 

найти оптимальное соответствующее значение фактора х и функции отклика у, 

которые наиболее близко описывали бы исходную систему. Помеха имеет

 нормальное распределение, поэтому включаем ее в функцию отклика таким 

образом, как показано в выше предложенных формулах.

Для поиска решения необходимо рассчитать оптимальный шаг ∆t.

Это делается по выше указанной формуле ( 6 ) – поиск шага варьирования.

 Именно так и реализуем в программном решении данной задачи

Для поиска оптимального решения используем матрицы коэффициентов 

модели  , с помощью которых определяем соответствующее 

значение функции отклика. Все выше сказанное реализовано в предлагаемой 

программе, в которой реализовано решение задачи построения динамической 

модели в соответствии с заданным типом модели методом идентификации и

 точностью решения задачи. Программа отлажена на упрощенных тестовых

 примерах с использованием информации, полученной от имитационной тестовой модели.

Проведен анализ полученных результатов, что также отражено в предложенной программе.

Апробирование машинной программы

Как было отмечено ранее, в данной программе кроме ручного ввода исходных 

значений факторов X (т. е. задание так называемой «нулевой точки») существует 

задание количества факторов и количества опытов, как по умолчанию, так и непосредственно пользователем.

Программа исследований программного эксперимента:

Решает задачу оптимизации поверхности отклика. В начале работы требуется 

задать значения функции отклика Y, для которых и будет найдены соответствующие

 значения факторов X , при которых функция отклика принимает максимальное значение.

1.Задаем количество факторов и экспериментов

Получаем значения факторов в натуральном масштабе, заполняем матрицу 

планирования.

2.Производим кодирование в безразмерной системе координат, для каждого 

фактора определяются нулевые уровни и интервалы варьирования. Они будут

 использованы для определения градиента в данной точке.

3.Получаем значения коэффициентов регрессии.

4.Считаем выборочные дисперсии, и если они однородны, выводим значение 

дисперсии воспроизводимости

5.Проверяем на значимость коэффициенты регрессии.

В данном случае все коэффициенты значимы.

6. Получаем информацию о том, описывает ли уравнение эксперимент адекватно.

7. Делаем шаг в сторону, противоположную градиенту и находим новую точку 

(набор факторов).

8. Для нового набора переходим к шагу 2. Выполняем указанные действия до тех 

пор, пока не приблизимся к точке экстремума, на что указывает убыль последующих значений функции отклика.

Результаты работы программы

Матрица значений функции отклика системы:

.

Матрица помех:

.

Найденные значения факторов, про которых функция отклика принимает

 максимальное значение: