Формулы расчета процентов

Проценты — удобная относительная мера, позволяющая
оперировать с числами в привычном для человека формате не зависимо от
размера самих чисел. Это своего рода масштаб, к которому можно привести
любое число. Один процент — это одна сотая доля. Само слово процент происходит от латинского «pro centum», что означает «сотая доля».
Проценты незаменимы в страховании, финансовой сфере, в экономических
расчетах. В процентах выражаются ставки налогов, доходность
капиталовложений, плата за заемные денежные средства (например, кредиты
банка), темпы роста экономики и многое другое.

1. Формула расчета доли в процентном отношении. 

Пусть задано два числа: A₁ и A₂. Надо определить, какую долю в процентном отношении составляет число A₁ от A₂.P = A₁ / A₂ * 100. 

В финансовых расчетах часто пишут

P = A₁ / A₂ * 100%. 

P = 10 / 200 * 100 = 5 (процентов). 

2. Формула расчета процента от числа. 

Пусть задано число A₂. Надо вычислить число A₁, составляющее заданный процент P от A₂.

A₁= A₂ * P / 100. 

Пример. Банковский кредит 10 000 рублей под 5 процентов. Сумма процентов составит.

P = 10000 * 5 / 100 = 500. 

3. Формула увеличения числа на заданный процент. Сумма с НДС. 

Пусть задано число A₁. Надо вычислить число A₂, которое больше числа A₁ на заданный процент P. Используя формулу расчета процента от числа, получаем:

A₂= A₁ + A₁ * P / 100. 

A₂= A₁ * (1 + P / 100).

Пример 1. Банковский кредит 10 000 рублей под 5 процентов. Общая сумма долга составит.

A₂= 10000 * (1 + 5 / 100) = 10000 * 1.05 = 10500.

Пример 2. Сумма без НДС равна 1000 рублей, НДС 18 процентов.
Сумма с НДС составляет:

A₂= 1000 * (1 + 18 / 100) = 1000 * 1.18 = 1180.

4. Формула уменьшения числа на заданный процент. 

Пусть задано число A₁. Надо вычислить число A₂, которое меньше числа A₁ на заданный процент P. Используя формулу расчета процента от числа, получаем:

A₂= A₁ - A₁ * P / 100. 

A₂= A₁ * (1 - P / 100).

Пример. Денежная сумма к выдаче за минусом подоходного налога (13 процентов).
Пусть оклад составляет 10 000 рублей. Тогда сумма к выдаче составляет:

A₂= 10000 * (1 - 13 / 100) = 10000 * 0.87 = 8700. 

5. Формула вычисления исходной суммы. Сумма без НДС. 

Пусть задано число A₁, равное некоторому исходному числу A₂ с прибавленным процентом P. Надо вычислить число A₂. Иными словами: знаем денежную сумму с НДС, надо вычислить сумму без НДС.

Обозначим p = P / 100, тогда:

A₁= A₂ + p * A₂. 

A₁= A₂ * (1 + p). 

A₂= A₁ / (1 + p).

Пример. Сумма с НДС равна 1180 рублей, НДС 18 процентов.
Стоимость без НДС составляет:

A₂= 1180 / (1 + 0.18) = 1000

6. Расчет процентов на банковский депозит. Формула расчета простых процентов. 

Если проценты на депозит начисляются один раз в конце срока депозита, то
сумма процентов вычисляется по формуле простых процентов.

S = K + (K*P*d/D)/100

Sp = (K*P*d/D)/100

Пример 1. Банком принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 1 год по ставке 20 процентов.

S = 100000 + 100000*20*365/365/100 = 120000

Sp = 100000 * 20*365/365/100 = 20000

Пример 2. Банком принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 30 дней по ставке 20 процентов.

S = 100000 + 100000*20*30/365/100 = 101643.84

Sp = 100000 * 20*30/365/100 = 1643.84

7. Расчет процентов на банковский депозит при начислении процента на процент. Формула расчета сложных процентов. 

Если проценты на депозит начисляются несколько раз через равные
промежутки времени и зачисляются во вклад, то сумма вклада с процентами
вычисляется по формуле сложных процентов.

S = K * ( 1 + P*d/D/100 )^N

При расчете сложных процентов проще вычислить общую сумму с процентами, а потом вычислить сумму процентов (доход):

Sp = S - K = K * ( 1 + P*d/D/100 )^N - K

Sp = K * (( 1 + P*d/D/100 )^N - 1)

Пример 1. Принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 90 дней по ставке 20 процентов годовых с начислением процентов каждые 30 дней.

S = 100000 * (1 + 20*30/365/100)³ = 105 013.02

Sp = 100000 * ((1 + 20*30/365/100)^N - 1) = 5 013.02

Пример 2. Проверим формулу начисления сложных процентов для случая из предыдущего примера.

Разобьем срок депозита на 3 периода и рассчитаем начисление процентов для каждого периода, использую формулу простых процентов

S₁ = 100000 + 100000*20*30/365/100 = 101643.84

Sp₁ = 100000 * 20*30/365/100 = 1643.84

S ₂ = 101643.84 + 101643.84*20*30/365/100 = 103314.70

Sp₂ = 101643.84 * 20*30/365/100 = 1670.86


S ₃ = 103314.70 + 103314.70*20*30/365/100 = 105013.02

Sp₃ = 103314.70 * 20*30/365/100 = 1698.32

Общая сумма процентов с учетом начисления процентов на проценты (сложные проценты)

Sp = Sp₁ + Sp₂ + Sp₃ = 5013.02

Таким образом, формула вычисления сложных процентов верна.

8. Еще одна формула сложных процентов. 

Если процентная ставка дана не в годовом исчислении, а непосредственно
для периода начисления, то формула сложных процентов выглядит так

S = K * ( 1 + P/100 )^N

Где:

S — сумма депозита с процентами,

К — сумма депозита (капитал),

P — процентная ставка,

N — число периодов начисления процентов.

Пример. Принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 3 месяца с ежемесячным начислением процентов по ставке 1.5 процента в месяц.