Главная » Статьи » Математика » Геометрия в пространстве

Прямые, плоскости, параллельность.
Прямые, плоскости, параллельность. 

Уже такое основное понятие, как параллель­ность прямых, нуждаетсяв новом определении: две прямые в пространстве называются парал-лельнылт, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Так что не попадай­тесь в одну из излюбленных экзаменаторами ловушек — не пытайтесь «доказывать», что через две параллельные прямые можно про­вести плоскость: это верно по определению параллельности прямых! Знаменитую плани­метрическую аксиому о единственности парал­лельной включают и в аксиомы стереометрии, а с её помощью доказывают главное свойство 

параллельных прямых в пространстве: 

 Через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну 

и только одну  прямую параллельно данной. 

Сохраняется и другое важное свойство па­раллельных прямых, 

называемое транзитив­ностью параллельности: 

 Если две прямые а и b параллельны третьей прямой с, то 

они параллель­ны друг другу. 

Но доказать это свойство в стереометрии сложнее. На плоскости
непараллельные прямые обязаны
 пересекаться и потому не могут 

быть одновременно параллельны третьей (иначе нарушается аксиома параллельных). 

В про­странстве существуют непараллельные и при­том непересекающиеся 

прямые — если они лежат в разных плоскостях. 

О таких  прямых говорят, что они скрещиваются..













D




А


На
рис. 4 изображён куб; прямые АВ и ВС пересекаются, АВ и CD 
— параллельны, а АВ и В¹С¹ — скрещиваются.
 В дальнейшем мы часто будем  прибегать к помощи куба, чтобы иллюс­трировать понятия и факты стереометрии.
 Наш куб склеен из шести граней-квадратов. Исходя из этого, мы будем выводить и другие его свойства. 
Например, можно утверждать, что прямая  АВ параллельна C¹D¹, потому что обе они параллельны
 общей стороне CD со­держащих их квадратов.


С




В




Рис. 4


В стереометрии отношение параллельности рассматривается и для 
плоскостей: две пло­скости или прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек. Прямую и плоскость удобно считать параллельными и в том случае
, когда лежит в плоскости. .
Для плоскостей и прямых справедливы  теоремы о транзитивности: 

 Если две плоскости параллельны третьей плоскости, то о

ни параллельны 

между собой. 

Если прямая и плоскость параллельны некоторой прямой

( или плоскости), 

то они параллельны друг другу. 

Наиболее важный частный случай второй теоремы- признак 

параллельности прямой и плоскости: 

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна 

некоторой прямой в этой плоскости. 

А вот признак параллельности плоскостей: 

  Если две пересекающиеся прямые в одной плоскости
соответственно параллельны двум 

пересекающимся прямым в другой
плоскости, то и плоскости параллельны.
 

Часто используется и такая простая теорема: 

Прямые, по которым две параллельные плоскости пересекаются 

третьей, параллельны друг другу. 

Посмотрим еще раз на куб (рис. 4). Из признака параллельности
прямой и плоскости следует, например, что прямая А¹В¹ параллельна 

плоскости АВСD (так как она параллельна прямой АВ в этой плоскости),

а противоположные грани куба, в частности А¹В¹С¹D¹ и ABCD, параллельны 

по признаку параллельности плоскостей: прямые A¹B¹ и B¹С¹ в одной грани 

соответственно параллельны прямым АВ и ВС в другой. И чуть менее простой 

пример. Плоскость, содержащая параллельные прямые AA¹ и СС¹, пересекают 

 параллельные плоскости АВСD и A¹B¹C¹D¹ по прямым АС и А¹С¹, значит, эти
прямые параллельны: аналогично, параллельные прямые В¹С и А¹D.

Следовательно, параллельные плоскости АВ¹С и А¹DC, пересекающие куб по 

треугольникам.

Категория: Геометрия в пространстве | Добавил: alexlat (30.04.2012)
Просмотров: 4204 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]