$AlexLat$

2) А. т. для степенных рядов: если степенной ряд
S(z ) = ∑^∞ _{k = 0} α_k(z - b )ᵏ  (*)
где α_k,b,z- комплексные числа, сходится при  z = z₀ то он абсолютно и равномерно сходится в любом круге 
| z - b| ≤ ρ
радиуса ρ ˂ | z₀ - b| сцентром в точке b. Установлена Н. Абелем [2]. Из этой теоремы вытекает, что существует число Rϵ,[0,∞]обладающее тем свойством, что при | z - b |˂ R ряд сходится, а при | z - b|˃ R расходится. Это число R наз. радиусом сходимости ряда (*) | z - b|˂ R, а круг наз. кругом сходимости ряда (*).
3) А. т. о непрерывности: если степенной ряд (*) сходится в точке z0 границы круга сходимости, то он представляет собой непрерывную функцию в любом замкнутом треугольнике Т с вершинами z_₀,z_₁,z_₂
где  z_₁,z_₂ лежат внутри круга сходимости. В частности,lim S(z ) =S(z ₀)  z→z₀, zϵT
Этот предельный переход всегда можно осуществить по радиусу: на всем радиусе круга сходимости, соединяющем точки b и z₀ ряд(*). будет сходиться равномерно. Эта теорема используется, в частности, для вычисления суммы степенного ряда, сходящегося в точках на границе круга сходимости.
4) А. т. для рядов Дирихле: если Дирихле ряд φ(s) =∑^∞_{n = 1}α_ne^-λ_n^s ,s = σ+it,λ_n˃0
сходится в точке s₀=σ ₀+it₀то он сходится в полуплоскости σ ˃ σ₀ и сходится равномерно внутри любого угла Ɠ |arg(s-s₀)| ≤ θ˂π / 2Является обобщением А. т. для степенных рядов (достаточно взятьλ_n =.n и обозначить e^-s = z) Из теоремы следует, что область сходимости ряда Дирихле - нек-рая полуплоскость σ  ˃ c где с - абсцисса сходимости ряда.
Для обыкновенного ряда Дирихле (λ_n= I.n_n)с известной асимптотикой для сумматорной функции
A_n =α₁+α₂+...+α_n коэффициентов ряда справедлива следующая теорема: если A_n=Bn^s1(Inn)ª+O(n^β)где B,s₁,α- -комплексные числа,β - действительное числоσ₁-1˂ β ˂ σ₁, то ряд Дирихле сходится приσ1˂ σ функцияφ(s)
регулярно продолжается на полуплоскостьβ˂σ исключая точку
s = s1 причем φ(s) =(α+1)(s - s1)α -1+g(s)еслиα≠-1-2,...,
φ(s)=B(-1)-α/(-α-1)s(s-s1)-α-1In(s-s1)+g(s)
если α=-1,-2...Здесь g(s)- регулярная при σ˃βфункция. Напр., дзета-функция Римана
Ɠ (s)(A_n= n,B =1,s₁ = 1α =0β ˃ 0)регулярна по крайней мере в полуплоскости σ ˃ 0 исключая точку s = 1в к-рой она имеет полюс 1-го порядка с вычетом, равным 1. Эта теорема допускает различные обобщения. Так, если
A_n=∑^k_{j =1}B_jn^sj(Inn)^αj+O(n^β),где Bj,sj,αj(1≤j≤k)- любые комплексные числаσ_k-1˂ β ˂ σ_k,˂...˂σ₁ и то ряд Дирихле сходится при σσ₁,φ(s)регулярен в области σ ˃ βисключая точкиs₁,s₂,...,sk в к-рых он имеет алгебраич. или логариф-мич. особенности. Теоремы такого типа позволяют на основании асимптотики A_n получать определенные сведения о поведении ряда Дирихле в нек-рой полуплоскости.