МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ ДЮРЕРА - Магический Квадрат - Математика - Каталог статей - AlexLat
Главная » Статьи » Математика » Магический Квадрат

МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ ДЮРЕРА

МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ ДЮРЕРА

Магический квадрат, воспроизведённый немецким художником Альбрехтом Дюрером на гравюре "Меланхолия”, известен всем исследователям магических квадратов.

Здесь подробно рассказывается об этом квадрате. Сначала покажу гравюру "Меланхолия” (рис. 1) и магический квадрат, который изображён на ней (рис. 2).

 

  Рис. 1

 

                                 

              Рис. 2

Теперь покажу этот квадрат в привычном виде (рис. 3):

 

16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

 

Рис. 3

Интересно, что два средних числа в последней строке квадрата (они выделены) составляют год создания гравюры  – 1514.

Считают, что этот квадрат, так очаровавший Альбрехта Дюрера, пришёл в Западную Европу из Индии в начале XVI века. В Индии этот квадрат был известен в I веке нашей эры. Предполагают, что магические квадраты были придуманы китайцами, так как самое раннее упоминание о них встречается в китайской рукописи, написанной за 4000-5000 лет до нашей эры. Вот какой древний возраст у магических квадратов!

Рассмотрим теперь все свойства этого удивительного квадрата. Но делать это мы будем на другом квадрате, в группу которого входит квадрат Дюрера. Это означает, что квадрат Дюрера получается из того квадрата, который мы будем сейчас рассматривать, одним из семи основных преобразований магических квадратов, а именно поворотом на 180 градусов. Все 8 квадратов, образующих данную группу, обладают свойствами, которые будут сейчас перечислены, только в свойстве 8 для некоторых квадратов слово "строка” заменится на слово "столбец” и наоборот.

Основной квадрат данной группы вы видите на рис. 4. 

 

1

14

15

4

12

7

6

9

8

11

10

5

13

2

3

16

 

Рис. 4

Теперь перечислим все свойства этого знаменитого квадрата.

Свойство 1.

 Этот квадрат ассоциативен, то есть любая пара чисел, симметрично расположенных относительно центра квадрата, даёт в сумме

  17=1+n2. 

Свойство 2.

Сумма чисел, расположенных в угловых ячейках квадрата, равна магической константе квадрата – 34.

Свойство 3.

 Сумма чисел в каждом угловом квадрате 2х2, а также в центральном квадрате 2х2 равна магической константе квадрата.

  Свойство 4.

Магической константе квадрата равна сумма чисел на противоположных сторонах двух центральных прямоугольников 2х4, а именно:

14+15+2+3=34, 12+8+9+5=34.

  Свойство 5.

 Магической константе квадрата равна сумма чисел в ячейках, отмечаемых ходом шахматного коня, а именно: 

1+6+16+11=34, 14+9+3+8, 15+5+2+12=34 и 4+10+13+7=34.

Свойство 6.

 Магической константе квадрата равна сумма чисел в соответствующих диагоналях угловых квадратов 2х2, примыкающих к противоположным вершинам квадрата. Например, в угловых квадратах 2х2, которые выделены на рис. 4, сумма чисел в первой паре соответствующих диагоналей: 1+7+10+16=34 (это и понятно, так как эти числа расположены на главной диагонали самого квадрата). Сумма чисел в другой паре соответствующих диагоналей: 14+12+5+3=34.

  Свойство 7

.Магической константе квадрата равна сумма чисел в ячейках, отмечаемых ходом, подобным ходу шахматного коня, но с удлинённой буквой Г. Показываю эти числа:

1+9+8+16=34, 4+12+5+13=34, 1+2+15+16=34,  4+3+14+13=34.

Свойство 8.

 В каждой строке квадрата есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна 15, и ещё пара тоже радом стоящих чисел, сумма которых равна 19. В каждом столбце квадрата есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна 13, и ещё пара тоже рядом стоящих чисел, сумма которых равна 21.

Свойство 9.

Суммы квадратов чисел в двух крайних строках равны между собой. То же можно сказать о суммах квадратов чисел в двух средних строках. Смотрите:

12 + 142 + 152 + 42 = 132 + 22 + 32 + 162 = 438

122 + 72 + 62 + 92 = 82 + 112 + 102 + 52 = 310

Аналогичным свойством обладают числа в столбцах квадрата.

Свойство 10.

Если в рассматриваемый квадрат вписать квадрат с вершинами в серединах сторон (рис. 5), то:

а) сумма чисел, расположенных вдоль одной пары противоположных сторон вписанного квадрата, равна сумме чисел, расположенных вдоль другой пары противоположных сторон, и каждая из этих сумм равна магической константе квадрата;

б) равны между собой суммы квадратов и суммы кубов указанных чисел:

122 + 142 + 32 + 52 = 152 + 92 + 82 + 22 = 374

123 + 143 + 33 + 53 = 153 + 93 + 83 + 23 = 4624

 

     

               Рис. 5

Вот такими свойствами обладает магический квадрат с рис. 4.

 

Следует отметить, что в ассоциативном квадрате, каковым является рассматриваемый квадрат, можно выполнять ещё такие преобразования, как перестановка симметричных строк и/или столбцов. Например, на рис. 6 изображён квадрат, полученный из квадрата с рис. 4 перестановкой двух средних столбцов.

 

1

15

14

4

12

6

7

9

8

10

11

5

13

3

2

16

 

Рис. 6


В полученных такими преобразованиями новых ассоциативных квадратах выполняются не все перечисленные выше свойства, но многие свойства имеют место. Читателям предлагается проверить выполнение свойств в квадрате с рис. 6.

Категория: Магический Квадрат | Добавил: alexlat (27.06.2012)
Просмотров: 1617 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]