Элементы теории устойчивости - Математика - Математика - Каталог статей - AlexLat
Главная » Статьи » Математика » Математика

Элементы теории устойчивости
Понятие о теории устойчивости Ляпунова.          

             Во многих задачах механики и техники важно знать характер поведения решения дифференциальных уравнений при изменении аргумента и, в частности, при неограниченном возрастании аргумента. Этими вопросами занимается качественная теория дифференциальных уравнений и ее важнейшее направление – теория устойчивости движения.

 Основоположником теории устойчивости движения является русский математик и механик А. М. Ляпунов /1857-1918/. Дадим определение устойчивости на примере дифференциальных уравнений второго порядка:

                            Y1=f1(t,Y1,Y2)

                            Y2=f2(t,Y1,Y2)             (1)

      где функции f1 и f2 удовлетворяют условиям теоремы существования и единственности решения в некоторой области D переменных t, Y1, Y2. Пусть Y1=f1(t) и Y2=f2(t) - решение этой системы, удовлетворяющее начальным условиям  Y1/t=0=f1(t),Y/t=0=Y20. Пусть также Y1=f1(t) и Y2=f2(t) решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям Y1/t=0=Y10,  Y/t=0=Y20.

Определение 1
Решение Y1=f1(t), Y2=f2(t) системы (1), удовлетворяющее начальным условиям
 Y1/t=0=Y10, Y2/t=0=Y20, называется устойчивым по Ляпунову при t®?, если для каждого скольугодно малого e>0 можно указать d>0 такое, что при всех t>0
значениях будут выполняться
неравенства  /f1(t)-f1(t)/<e ,

 /f2(t)-f2(t)/<e  , если начальные условия удовлетворяют неравенствам

 /Y10-Y10/<d ,  /Y20-Y20/<d.

      Поясним смысл этого определения. Очевидно, что выполнение неравенств, содержащихся в определении, означает, что при малых изменениях начальных условиях мало отличаются  соответствующие им решения при t>0. 

Движение Y1=f1(t) , Y2=f2(t) , соответствующее начальным условиям Y1/t=0=Y10, Y2/t=0=Y20  , называется невозмущенным движением, а движение Y1=f1(t) , Y2=f2(t), соответствующее близким начальным  условиям Y1/t=0=Y10, Y2/t=0=Y20, называется возмущенным движением.

Величины d1=Y10-Y10 , d2=Y20-Y20 называются возмущениями начальных
условий, а величины  X1(t)=f1(t)-f1(t) , X2(t)=f2(t)-f2(t)  – 

возмущениями текущих  координат.

Определение 2.   Если устойчивое движение удовлетворяет таким
условиям:

 limf1(t)=f1(t) , limf2(t)=f2(t)  то оно называется
асимптотически устойчивым.

 t®?                               t®?

      Асимптотическая устойчивость означает, что при
неограниченном возрастании времени возмущенное движение приближается к невозмущенному.    

Исследование устойчивости удобно проводить, если от уравнений (1) в исходных

координатах Y1 и Y2 перейти к уравнениям в возмущениях X1 и X2:

X1=f1(t)-f1(t) ,
X2=f2(t)-f2(t). Этот переход осуществляется подстановкой

в уравнение (1) соотношений
Y1=f1(t)=f1(t)+X1 , Y2=f2(t)=f2(t)+X2 :

dY1/dt=df1(t)/dt=df1(t)/dt+dX1/dt=f1(t,f1(t)+X1, f2(t)+X2)

dY2/dt=df2(t)/dt=df2(t)/dt+dX2/dt=f2(t,f1(t)+X1, f2(t)+X2)

Обозначая
X1(t,X1,X2)= f1(t,f1(t)+X1, f2(t)+X2) - f1(t,f1(t), f2(t)),

X2(t,X1,X2)= f2(t,f1(t)+X1, f2(t)+X2) – f2(t,f1(t), f2(t)),

получим из последней системы  так называемую систему в возмущениях:

 X1(t)=X1(t,X1,X2)                       
(2)

 X2(t)=X2(t,X1,X2)   

Очевидно, что невозмущенному решению Y1=f1(t) ,Y2=f2(t) системы (1)  соответствует 

решение X1(t)=0, X2(t)=0 системы  (2) с нулевыми начальными

условиями X1/t=0=X10=0 ,      X2/t=0=X20=0.

    Тогда на языке возмущений X1(t) и X2(t) определение
устойчивости по

Ляпунову будет звучать следующим образом.

Определение 3.   Решение X1(t)=0,  X2(t)=0 системы
в возмущениях называется устойчивым, если для любого наперед заданного e>0 найдется такое d>0

что неравенства / X1(t)/<e , / X2(t)/<e

будут выполняться, если выполняются неравенства /X10/<d,  /X20/<d.

         Если при этом  Lim X1(t)=0
, Lim X2(t)=0  , то решение X1(t)=0, X2(t)=0

                                                          
       t®?               t®?

 называется асимптотически устойчивым.

Определение
4.
  Если для любого наперед заданного  e>0 можно  указать такое d>0,

что  при всех X10 , X20 ,   удовлетворяющих неравенству X10 +X20<=d, будет выполняться

при всех t >=0 неравенство X10(t) +X20(t)<=e, то невозмущенное движение X1(t), X2(t)=0

называется  устойчивым, в противном случае – неустойчивым. Если же при этом для устойчивого
движения

Lim(X1(t) +X2(t))=0, то движение называется
асимптотически устойчивым.

t®?

2 Исследование устойчивости линейных уравнений.

Рассмотрим важный частный случай, когда уравнения линейны,
т.е. уравнения  возмущенного движения имеют вид:            X1=A11X1+A12X2                     (1)

                                                               
           X2=A21X1+A22X2

Ограничимся случаем автономной системы когда Aij=const. Исследуем на устойчивость
нулевое решение

X1(t)=0, X2(t)=0.
Частное решение этой системы ищется в форме X1=a1e, X2=a2e где a1, a2 , 

l– некоторые константы, подлежащиеопределению.
Подставляя a1e и a2e вместо X1 и X2  в систему (2), получим систему  алгебраических уравнений:   (A11-l)a1 + A12a2 = 0                                                                             

A21a1 + (A22-l)a2 = 0

Которая имеет нулевое решение относительно a1 и a2 если ее определитель равен нулю,

т.е. A11-l     A12            =l - (A11- A22)l + (A11A22 - A12A21)=0                       

A21            A22-l     

    Как известно, это уравнение называется  характеристическим уравнением, а его корни l1и l2– характеристическими числами. Определив l1и l2 , найдем две пары коэффициентов (с точностью до произвольного множителя). Если найдены l1, l2,  a1, a2, остается построить фундаментальную систему решений и написать общее решение системы. Характер этого решения зависит от типа характеристических чисел l1 и  l2 .

Характеристические числа действительны и различны

Если l1  и  l2 действительны и различны (l1?l2), то общее решение системы имеет вид

X1(t) = C1a11e + C2a21e , X2(t) = C1a12e + C2a22e где C1    и   C2

произвольные постоянные: aij - определенные числа. При этом могут
реализоваться такие  случаи:

А) Характеристические
числа отрицательны
(l1<0 , l2<0).

Тогда ясно, что
Lim X1(t)=0 , Lim X2(t)=0  т.е. исследуемое нулевое решение

                                         t®?                           t®?                       будет асимптотически устойчивым

Б) Хотя бы одно из
характеристических чисел положительно.

Если l1>0,то
e® + ?   т.е.
в этом случае, по крайней мере, одна из величин X1(t)                            

t®?    или X2(t)   неограниченно возрастает при t® + ? т.е. исследуемое движение неустойчиво

В) Одно из
характеристических чисел отрицательно
, другое равно нулю.

Пусть например l1<0
, а l2=0. Тогда ясно, что члены, содержащие  e,
будут стремиться к нулю при t® + ?, а два других члена не зависят от t , 

а это означает, что любая фазовая траектория  L с началом в точке

Mo достаточно близкой к точке O(0,0), будет все время оставаться в сколь угодно малой окрестности

этой точки, хотя Lima1(t)?0 , Lima2(t)?0. В этом случае решение будет устойчивым, хотя и не     t®?                          
t®?       асимптотически

Характеристические числа,
кратные
(l1=l2).

В этом случае общее решение имеет вид

X1(t) = (C1a11+ C2a21)e ,   X2(t) = (C1a12+ C2a22)e.

Здесь могут представиться такие ситуации:

А) Если l1>0
то e®? при t® + ?, т.е.
движение неустойчиво. Аналогично, если l1=0 то e =1 и движение
также неустойчиво;

Б) Если l1>0,
то Limx1(t)=0 , Limx2(t)=0

                             t®?                        
t®?                   т.е.
исследуемое нулевое решение будет асимптотически устойчивым.

Характеристические числа комплексны

Пусть l1=m+in, l2=m -
in ,  тогда
общее решение имеет вид:

X1(t)= e(C1a11cosnt + C2a21sinnt) ,  X2(t)= e(C1a12cosnt + C2a22sinnt) ;

А) Если m<0то
ясно что Limx1(t)=0 , Limx2(t)=0,     
т.е. решение будет                                       

 t®?                        
t®?                   асимптотически
устойчивым.

Б)  Если m>0, то при
t® ?   X1(t) и X2(t)  неограниченно
растут, т.е. движение будет неустойчивым.

В) Если m=0, то ясно что
величины C1 и C2 (а следовательно и начальные условия X10, X20)
можно выбрать столь малыми, что для любого e > 0 выполнялись бы условия /X1(t)/<e, /X2(t)/<e,   а это означает что движение устойчиво.Отметим, что полученные здесь выводы будут справедливыдля системы любого порядка. Сформулируем эти выводы в виде теоремы.     

Теорема. Если действительные части всех характеристических чисел
линейной системы отрицательны, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво;если действительная часть хотя бы одного из характеристических чисел положительна, то невозмущенное движение неустойчиво; если действительные части некоторых характеристических чисел равны нулю, остальные же отрицательны, то невозмущенное движение – устойчиво /но не асимптотично/.

3 Устойчивость и не устойчивость по первому приближению.

Рассмотрим теперь автономную
нелинейную систему дифференциальных

уравнений возмущенного движения:             X1=X1(X1,X2,…Xn)                                                                         

X2=X2(X1,X2,…Xn)              
(1)                                                                           .…….……………..

                                                                      

Xn=Xn(X1,X2,…Xn)

Разлагая правые части Xj(X1,X2,…Xn) в ряды Тейлора в окрестности точки
O(0,0,0)и имея в виду, что в этой точке все 

правые части Xj(X1,X2,…Xn) обращаются в нуль, получим:

     X1=A11X1+A12X2+……+A1nXn + X1(X1,X2,….Xn

     X2=A21X1+A22X2+……+A2nXn + X2(X1,X2,….Xn)                                     (2)

…………………………………………………..

     Xn=An1X1+An2X2+……+AnnXn + Xn(X1,X2,….Xn)

Где Aij = const (система автономная) а функции Xj содержат возмущения
X1,X2,…Xn

в степенях выше первой. При исследовании на устойчивость
имеет смысл рассматривать лишь малые значения возмущений X1,X2,…Xn. В 

этом случае функции Xj будут малыми высших порядков по сравнению с линейными 

членами в уравнениях (2).

Но тогда при приближенном исследовании
нелинейными  членами в уравнениях (2) можно пренебречь.

получим систему которую обычно
называют укороченной системой или системой

уравнений первого приближения по отношению к системе (2):

     X1=A11X1+A12X2+……+A1nXn

     X2=A21X1+A22X2+……+A2nXn                                      (3) Xn=An1X1+An2X2+……+AnnXn

Укороченная система (3) является линейной автономной системой, и устойчивость ее нулевого решения можно исследовать на основании теоремы, выведенной в предыдущем параграфе.   

Но тогда встает естественный вопрос о том, при каких условиях результаты
исследования на устойчивость нулевого решения уравнений первого приближения (3) 

будут совпадать с результатами такого же исследования для нелинейной системы 

(2), т.е. при каких условиях, исследуя на устойчивость систему (2), ее можно 

заменять укороченной системой (3). А. М. Ляпунов дал ответ на этот вопрос
нижеследующей теоремой.

Теорема.    Если действительные части всех характеристических
чисел укороченной системы(3) отрицательны, то нулевое решение системы (2) 

(невозмущенное решение) асимптотически устойчиво, каковы бы ни были нелинейные 

члены в правых частях уравнений (2).

Если же действительная часть хотя бы
одного характеристического числа укороченной системы (3)

положительна, то
нулевое решение системы (2) (невозмущенной движение)

неустойчиво при любых
нелинейных членах в правых частях уравнений системы (2).

4 Критерий устойчивости Гурвица.

    Как было показано выше,  исследование устойчивости линейных систем и нелинейных систем

по уравнениям первого приближения зависит от характера корней характеристического уравнения

(характеристических чисел), которое для системы  n–го
порядка  является алгебраическим уравнением n–ой степени

            n             n-1           

  A0l +A1l+…+An-1l+An=0,       (1)

где  Aj – действительные коэффициенты (ImAj=0).
Таким образом, в теории устойчивости очень важную роль играют критерии, с помощью которых, не решая фактически уравнения (1),можно по его коэффициентам судить о характере его корней (критерий устойчивости). 

Ниже рассматривается один из наиболее употребительных и удобных для применения 

признаков отрицательности действительных частей корней уравнения (1) – признак Гурвица.

     Всегда можно добиться, чтобы в уравнении (1) было A0>0. При этом условии составим 

из коэффициентов уравнения (1) квадратную матрицу A– матрицу
Гурвица – по следующему правилу.

По главной диагонали матрицы A поставим коэффициенты A1, A2, …,An. Далее, в каждой строке коэффициенты записываются так, чтобы их индексы возрастали справа налево,однако правее коэффициента A0 и левее An должны до конца строки стоять нули. Таким образом, матрица  A имеет вид: A1    A0     0       0 ……0 

                A3    A2    A1    A0
..….0

     A=      A5    A4    A3    A2
..….0                  (2)

                ………………………..

                0       0       0      0…..An

Составим главные диагональные
миноры матрицы A:                       

A1  A0                      A1   A0….0

D1=A1 ,   D2=  A3    A2 ,……,  Dn= A3  A2 …0                 (3)                                                  

…..……….                                                      

0    0 …An

Теорема (критерий Гурвица)
Для того, чтобы все корни алгебраического уравнения (1)

 (ImAj=0 ,
A0>0)
имели  отрицательные действительные части, необходимо и достаточно,

чтобы все главные  диагональные миноры (3) матрицы Гурвица (2) были положительны:  D1>0, D2>0,…..,
Dn-1>0, Dn>0.    (4)

Из теоремы Ляпунова об устойчивости и неустойчивости по первому приближению

и критерия Гурвица вытекают следующие два вывода.

1.  Если при A0>0положительны  все главные диагональные миноры матрицы

Гурвица, составленной для характеристического уравнения укороченной системы,

то нулевое решение системы (невозмущенное движение) асимптотически устойчиво,независимо от нелинейных членов в правых частях полной системы.

2.  Если хотя бы один из вышеуказанных миноров отрицателен, то нулевое решение системы

(невозмущенное движение) неустойчиво, независимо от нелинейных членов в правых частях полной системы.

5 Прямой метод Ляпунова

 Рассмотрим один из наиболее сильных методов исследования устойчивости движения,

идея которого состоит в отыскании специальных функций, полные производные которых по

времени обладают некоторыми особыми свойствами.

     Введем в рассмотрение действительные функции U(X1,X2,…,Xn), где

X1, X2,…,Xn  – возмущения, определенные в некоторой окрестности

/X1/<e, /X2/<e,…, /Xn/<e (1)
точки X1=0, X2=0,…,Xn=0. Будем предполагать,

что в области (1) эти функции однозначны, непрерывны
и обращаются в нуль в нулевой точке, т.е.  U(0,0,…,0)=0    

   Определения.
Функция U(X1,X2,…,Xn) называется
знакопостоянной (положительной или отрицательной),

если в некоторых точках области (1),она обращается в нуль, а во всех других точках
этой области принимает значение только одного знака (положительного или отрицательного). Знакопостоянная функция U(X1,X2,…,Xn)  называется знакоопределенной (определенно – 

положительной или определенно – отрицательной),если она обращается только 

в одной точке X1=0, X2=0,…,Xn=0. Теорема
(Ляпунова)
.

Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что можно найти

знак оопределенную функцию U, производная U которой в силу этих уравнений
была бы постоянной функцией противоположного с U знака или 

тождественно равна нулю, то невозмущенное движение устойчиво.

Если же можно найти такую знакоопределенную функцию U, производная U
которой в силу уравнений возмущенного движения также является знакоопределенной функцией противоположного с U знака, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво. 

        Теорема
(Четаева).
  Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что можно найти 

функцию W, удовлетворяющую двум условиям:

А) в сколь угодно малой окрестности начала координат существует область где W>0, 
причем на границе этой области W=0;

Б) во всех точках упомянутой области, где W>0, производная W>0,
то невозмущенное движение неустойчиво.

6 Критерий Сильвестра знакоопределенности
функции Ляпунов

   Пусть функция Ляпунова U(X1,X2,…,Xn) обращается 

в нуль в нулевой точке и имеет в окрестности этой точки непрерывные частные 

производные первого и второго порядка. Разложим эту функцию в ряд Тейлора в 

окрестности начала координат:

     U(X1,X2,…,Xn)= (¶U/¶X1)0 X1 +….+ (¶U/¶Xn)0 Xn + 0,5( ¶U/¶X1 )0 X1 +

     ( ¶U/(¶X1 ¶X2))0X1X2 + 0,5( ¶U/¶X2 )0 X2  +….+0,5( ¶U/¶Xn )0 Xn  +….

Если  функция U знакоопределена в окрестности начала координат, то
начало координат является ее точкой экстремума, т.е.   (¶U/¶Xj)0=0   (j=1,2,..,n)

введем  обозначения   Cjk = 0,5( ¶U/(¶Xj ¶Xk))0

тогда выражение (1) запишется в виде 
Cjk=Ckj                                                                           

n       n

                                              U(X1,X2,…,Xn)= ?    ?CjxXjXk +……,                (2)

                                                                                                                
j=1     j=1

где не выписанные члены в (2) имеют порядок более, чем второй относительно
переменных X1, X2,…,Xn.

В  достаточно малой окрестности начала координат функция из (4) будет положительно
– определенной,если положительно определена квадратичная форма.                        n       n 

?    ?CjxXjXk                             (3)
                                         

j=1     j=1

Из высшей алгебры известно, что условием положительной определенности квадратичной
формы (3) является условие положительности главных диагональных миноров ее 

матрицы.

                C11    C12      C13  .…C1n

                C21   
C22      C23
 ….C2n

     C=      C31   
C32      C33
 ….C3n   
              
(4)          ………………………..

                Cn1    Cn2     Cn3  ….Cnn   

Т.е. условие                          

C11   C12                            C11 …… C1n

D=С11>0 ,   D2=    С21    C22   >0 ,……,   Dn=     ………...…       >0            (5)                                                                 

Cn1 ..…Cnn

Соответственно условием отрицательной определенности квадратичной формы (3),

как известно из алгебры, является условие D1=C1<0, D2>0, D3<0,
D4>0,...    (6)

Критерий Сильвестра.   Если выполняются условия (5) , то квадратичная
форма (3) и функция U(X1,X2,…,Xn)

определенно - положительны в окрестности начала координат. Если выполняются условия (6),

то функция U является определенно – отрицательной.

Категория: Математика | Добавил: alexlat (07.05.2012)
Просмотров: 521 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]