Критерии согласия: критерий χ² Пирсона

Главная » Статьи » Математика » Математика

Критерий χ² (K.Pearson, 1900) основывается на группированных данных. Область значений предполагаемого распределения делят на некоторое число интервалов. После чего строят функцию отклонения ρ по разностям теоретических вероятностей попадания в интервалы группировки и эмпирических частот.

Имеется выборка χ =( χ₁,...,χn) из распределения F . Проверяется простая гипотеза против сложной альтернативы H₁=(F = F₁).

Пусть,A₁,..., A_k , , — интервалы группировки в области значений случайной величины с распределением . Обозначим для j = l,...,k через v_j число элементов выборки, попавших в интервал A_j

и через ρ > 0 — теоретическую вероятность PH (χi ε Aj) попадания в интервал A_j случайной величины с распределением
F₁. С необходимостью,ρ₁+...+ρ_k = 1 . Как правило,
длины интервалов выбирают так, чтобы ρ₁=...=ρ_k = 1/k. .

Пусть

(23)

Замечание 18.

Свойство K1(б) выполнено далеко не для всех альтернатив. Если распределение выборки F₂ ≠ F₁имеет такие же, как у F₁ , вероятности ρ_j попадания в каждый из интервалов A_j , то по данной функции эти распределения различить невозможно.

Поэтому на самом деле критерий, который мыпостроим по функции ρ из(23),решает совсем иную задачу. А именно, пусть задан набор вероятностей ρ₁,... ρ_k такой, что ρ₁+...+ρ_{k = 1}. Критерий χ² предназначен для проверки сложной гипотезы

против сложной альтернативы , т.е.

Покажем, что ρ⒳удовлетворяет условию K₁(a).

Теорема Пирсона.

Если верна гипотеза H’₁,
то при фиксированном k и при n → ∞

где, напомним, H_k-1 есть χ² - распределение с k-1 степенью свободы.

Стоит остановиться и задать себе вопрос. Величина ρ есть сумма k слагаемых. Слагаемые, если вы не забыли ЦПТ или теорему Муавра — Лапласа, имеют распределения, близкие к квадратам каких-то нормальных. Куда потерялась одна степень свободы?

Причина кроется, конечно, в зависимости слагаемых: v_k = n - v₁-...-v_k-1.

Докажем теорему Пирсона при k = 2 .

В этом случае v₂ = n - v₁, ρ ₂ = 1, . Посмотрим на ρ и
вспомним ЦПТ:

Но величина v₁ есть сумма n независимых случайных величин
с распределением Бернулли Bρ₁ , и по ЦПТ

где ξ имеет стандартное нормальное распределение. Поэтому

Величина ξ² имеет χ² -распределение H₁ с одной степенью свободы.

Q.D.E.

Функция ρ⒳удовлетворяет условиюK₁(б) Действительно,

Упражнение. Вспомнить закон больших чисел и доказать,
что если H’₁ неверна,
то найдется

jε{1,...,k}. такое, что

Осталось построить критерий в соответствии с K₂.

Пусть случайная величина χ²k-1 имеет распределение H_k-1. По таблице распределения H_k-1 найдем C равное квантили
уровня 1- ε этого распределения.
Тогда и
критерий согласия χ² выглядит как все критерии согласия:

Замечание 19.

На самом деле критерий χ² применяют и для решения первоначальной
задачи о проверке гипотезы .H₁={F = F₁} Необходимо только помнить,
что этот критерий не состоятелен для альтернатив с теми же вероятностями
попадания в интервалы разбиения, что и у F₁ . Поэтому берут большое
число интервалов разбиения — чем больше, тем лучше, чтобы «уменьшить»
число альтернатив, неразличимых с

Замечание 20.

Сходимость по распределению ρ⒳→ H_k-1 обеспечивается ЦПТ, поэтому разница допредельной и предельной вероятностей
имеет тот же порядок, что и погрешность нормального приближения

где b — некоторая постоянная. Маленькие значения nρ_j в знаменателе
приведут к тому, что распределение ρ⒳будет существенно
отличаться от H_k-1. Тогда и реальная вероятность P(ρ ≥ C ) —
точный размер полученного критерия — будет сильно
отличаться от ε .
Поэтому для выборки объема n число интервалов разбиения выбирают
так, чтобы обеспечить нужную точность при замене распределения ρ⒳ на H_k-1.