Критерий омега-квадрат фон-Мизеса - Математика - Математика - Каталог статей - AlexLat
Главная » Статьи » Математика » Математика

Критерий омега-квадрат фон-Мизеса

Критерий w²Крамера-Мизеса-Смирнова при простой гипотезе

Порядок проверки простой гипотезы о согласии

Простая проверяемая гипотеза имеет вид H0: F(x)=F(x,q), где F(x,q) – функция распределения вероятностей, с которой проверяется согласие наблюдаемой выборки, а q – известное значение параметра (скалярного или векторного). В случае простых гипотез предельные распределения статистик критерия согласия w 2не зависят от вида наблюдаемого закона распределения F(x,q) и, в частности, от его параметров. Говорят, что эти критерии являются "свободными от распределения”. Это достоинство предопределяет широкое использование данных критериев в приложениях.

            При проверке согласия опытного распределения с теоретическим распределением случайной величины X:

1.        Формулируют проверяемую гипотезу, выбирая теоретическое распределение случайной величины, согласие которого с опытным распределением этой величины следует проверить.

2.        Из совокупности отбирают случайную выборку объема n. Полученные результаты наблюдений располагают в порядке их возрастания, так что в распоряжении имеют упорядоченную выборку значений

x1 ≤ x2 ≤ … ≤ xn.

3.        В соответствии с выбранным критерием проверки вычисляют значение статистики S* критерия w² Мизеса.

4.        В соответствии с выбранным критерием проверки вычисляют значение 

 

где G(S|H0) – распределение статистики критерия при справедливости гипотезы H0. Если P{S>S*}>a , где a – задаваемый уровень значимости, то нет оснований для отклонения проверяемой гипотезы. В противном случае проверяемая гипотеза H0 отвергается.

Можно вычисленное значение статистики S* сравнить с критическим значением Sa , определяемым из условия   


Гипотеза о согласии отвергается, если значение статистики попадает в критическую область, т. е. при S*> Sa .

Нулевая гипотеза

         В критериях типа расстояние между гипотетическим и истинным рас­пределениями рассматривают в квадратичной метрике.

         Проверяемая гипотеза H0 имеет вид


при альтернативной гипотезе


где E[.]  - оператор математического ожидания,  y(t) - заданная на отрезке 0≤ t≤1 неотрицательная функция, относительно которой предполагают, что y(t), ty(t), t2y(t) интегрируемы на отрезке 0≤t≤1. Статистику крите­рия  выражают соотношением

,       

где

    

Статистика Крамера-Мизеса-Смирнова

 При выборе y(t) º1 для критерия w ² Мизеса получают статистику вида (статистику Крамера-Мизеса-Смирнова)

,                       

которая при простой гипотезе в пределе подчиняется закону с функцией рас­пределения a1(S), имеющей вид

,                           

Алгоритм

1.    Значение статистики Крамера-Мизеса-Смирнова S* вычисляется по формуле

.

Значение вероятности P{S>S*}=1-a1(S*) вычисляется по функции распределения a1(S)

,

или берется из таблицы 1 приложения.

3.    Критические значения критерия Sa при заданном a могут быть взяты из таблицы 2.

4.    Гипотеза H0 не отвергается, если для вычисленного по выборке значения статистики S*

P{S>S*}=1-a1(S*)>a .

Пример 1.

Гипотеза Н0: рост детей в 5 классе одинаковый и находится в согласии с теоретическим распределении.

1.  Дано распределение детей по росту: 133, 125, 120, 145, 151,  114, 140, 150, 139 (в сантиметрах).

Рост, см

F(x;Θ)

S*

114

0,09375

1,596169

120

0,098684


125

0,102796


133

0,109375


139

0,114309


139

0,114309


145

0,119243


150

0,123355


151

0,124178


2.  a1(S*)≈ 0,999 (из таблицы 1)

3.  На уровне значимости α = 0,05 в таблице 2 находим a1(S)=0,4614.

4.  Подтверждение гипотезы находим по формуле: P{S>S*}=1-a1(S*)>a

P{S<1,59}=1-0,999>a => 0,01<0,5.

Гипотезу Но опровергаем, выборка не находится в согласии с теоретическим распределением.

Пример 2.

Гипотеза Н0: Количество рыбы в сезон на Аляске, за последние 5 лет, теоретически согласовано.

1.  Имеются данные о количестве рыбы (в млн кг), обрабатываемой в рыбный сезон на заводе «Seward Fisheries» на Аляске:

1,5; 0,8; 1; 0,6; 1,2.

Вес, млн кг

F(x;Θ)

Сумма

S*

0,6

0,117647

0,000311

0,71288

0,8

0,156863

0,020488


1

0,196078

0,092368


1,2

0,235294

0,215952


1,5

0,294118

0,367093


2.  a1(S*)= 0, 99036 (из таблицы 1)

3.  На уровне значимости α = 0,01 a1(S)= 0,7434.

4.  Подтверждение гипотезы находим по формуле: P{S>S*}=1-a1(S*)>a

P{S<0,71288}=1-0, 99036 <a => 0,00964<0,01.

Гипотезу Но опровергаем, количество рыбы на Аляске теоретически не согласовано.

Пример 3.

Гипотеза Н0: Средний балл студента Иванова И.И.  за последние 5 сессий согласован с теоретическим распределением.

1.  Средние баллы за каждую из 5 последних сессий такие:

4; 4,2; 4; 4,3; 4.

Оценка

F(x;Θ)

Сумма

S*

4

0,195122

0,012497

0,594398

4,2

0,204878

0,002036


4

0,195122

0,049082


4,3

0,209756

0,13956


4

0,195122

0,30789


2.  a1(S*)= 0, 98314 (из таблицы 1)

3.  На уровне значимости α =0,1, пользуясь таблицей 2, находим a1(S)= 0,3473.

4.  Подтверждение гипотезы находим по формуле: P{S>S*}=1-a1(S*)>a

P{S<0,594398}=1-0, 98314 <a => 0,01686<0,1.

Гипотезу Но, оценки студента теоретически не согласованы.

Таблица 1

Функция распределения статистики w 2 Мизеса a1(S) при проверке простой гипотезы

S

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,0

0,00000

00001

00300

02568

06685

12372

18602

24844

30815

36386

0,1

0,41513

46196

50457

54329

57846

61042

63951

66600

69019

71229

0,2

0,73253

75109

76814

78383

79829

81163

82396

83536

84593

85573

0,3

0,86483

87329

88115

88848

89531

90167

90762

91317

91836

92321

0,4

0,92775

93201

93599

93972

94323

94651

94960

95249

95521

95777

0,5

0,96017

96242

96455

96655

96843

97020

97186

97343

97491

97630

0,6

0,97762

97886

98002

98112

98216

98314

98406

98493

98575

98653

0,7

0,98726

98795

98861

98922

98981

99036

99088

99137

99183

99227

0,8

0,99268

99308

99345

99380

99413

99444

99474

99502

99528

99553

0,9

0,99577

99599

99621

99641

99660

99678

99695

99711

99726

99740

1,0

0,99754

99764

99776

99787

99799

99812

99820

99828

99837

99847

1,1

0,99856

99862

99869

99876

99883

99890

99895

99900

99905

99910

1,2

0,99916

99919

99923

99927

99931

99935

99938

99941

99944

99947

1,3

0,99950

99953

99955

99957

99959

99962

99964

99965

99967

99969

1,4

0,99971

99972

99973

99975

99976

99978

9997

 

Таблица 2

Процентные точки распределения статистики w 2 Мизеса при проверке простой гипотезы

Функция распределения

Верхние процентные точки

0,15

0,1

0,05

0,025

0,01

a1(S)

0,2841

0,3473

0,4614

0,5806

0,7434

Категория: Математика | Добавил: alexlat (26.06.2012)
Просмотров: 939 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]