Положительно (отрицательно) определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра
Положительно (отрицательно) определенные квадратичные формы. Критерий СильвестраКвадратичная форма называется положительно определенной, если для всех и из следует, что .Квадратичная форма называется отрицательно определенной, если Теорема (критерий Сильвестра). Пусть A – матрица квадратичной формы I. Квадратичная форма ƒ(x) положительно определена тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы A положительны.Итак, если – главный минор первого порядка – главный минор второго порядка.………………………… II. Для того, чтобы квадратная форма была отрицательно определенной необходимо и достаточно, чтобы главные миноры чередовали знаки, причем . Доказательство. Если квадратичную форму рассмотреть в главных осях, то для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной для необходимо, чтобы все собственные числа матрицы были положительны.Следовательно, все главные миноры матрицы квадратичной формы в главных осях должны быть положительны. Необходимость установлена для положительно определенной формы приведенной к главным осям.Для того чтобы форма была отрицательно определенной, в главных осях она должна иметь вид: , причем, все . Отсюда следует, что главные миноры (в главных осях) должны чередовать знаки и . Необходимость условий теоремы установлена (частично).Докажем достаточность условий. Итак, пусть A симметрическая матрица, все главные миноры которой не равны нулю. Покажем, что матрицу можно привести к диагональной форме последовательностью преобразований: , причем, каждое из этих преобразований не меняет значений главных миноров (Q1 – невырожденные матрицы с определителями равными +1). |x\= . (4)
|
Категория: Математика | Добавил: alexlat (28.06.2012)
|
Просмотров: 8001
| Рейтинг: 0.0/0 |
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[
Регистрация |
Вход ]