Положительно (отрицательно) определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра - Математика - Математика - Каталог статей - AlexLat
Главная » Статьи » Математика » Математика

Положительно (отрицательно) определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра

   Положительно (отрицательно) определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра

Квадратичная форма называется положительно определенной, если для всех        и из    следует, что  .

Квадратичная форма называется отрицательно определенной, если   

Теорема (критерий Сильвестра). Пусть A  – матрица квадратичной формы  

I.  Квадратичная  форма  ƒ(x) положительно определена тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы  A  положительны.

Итак, если  

 – главный минор первого порядка

 – главный минор второго порядка.

…………………………

 

II.  Для того, чтобы квадратная форма была отрицательно определенной необходимо и достаточно, чтобы главные миноры чередовали знаки, причем  .

 

Доказательство.  

Если квадратичную форму  рассмотреть в главных осях, то для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной     для   необходимо, чтобы все собственные числа матрицы   были положительны.


Следовательно, все главные миноры  матрицы квадратичной формы в главных осях должны быть положительны. Необходимость установлена для  положительно определенной формы приведенной к  главным осям.

Для того чтобы форма была отрицательно определенной,  в главных осях она должна иметь вид:  , причем, все  . Отсюда следует, что главные миноры (в главных осях) должны чередовать знаки и  .

 Необходимость  условий  теоремы  установлена (частично).

Докажем достаточность условий.  

           Итак, пусть  A  симметрическая матрица, все главные миноры которой не равны нулю.  Покажем, что матрицу     можно привести к диагональной форме последовательностью преобразований:  , причем, каждое из этих преобразований не меняет значений главных миноров (Q1   – невырожденные матрицы с определителями равными +1).  |x\=  . (4)


Категория: Математика | Добавил: alexlat (28.06.2012)
Просмотров: 6291 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]