$AlexLat$

Оценка  значимости  уравнения  регрессии в целом производится на основе F-критерия Фишера, которому предшествует дисперсионный анализ. В  математической  статистике  дисперсионный  анализ  рассматривается  как самостоятельный  инструмент  статистического  анализа.  В  эконометрике он применяется как вспомогательное средство для изучения  качества регрессионной модели. Согласно основной идее дисперсионного анализа, общая сумма квадратов  отклонений  переменной (y) от среднего значения  (y_ср.)  раскладывается на две части – «объясненную» и «необъясненную»:

Схема дисперсионного анализа имеет следующий вид (n –число наблюдений,  m–число параметров при переменной  x):

Определение  дисперсии  на  одну  степень  свободы  приводит  дисперсии к  сравнимому  виду.  Сопоставляя  факторную  и  остаточную  дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину  F-критерия Фишера. Фактическое  значение  F -критерия  Фишера  сравнивается  стабличным значением F_табл. (α, k₁, k₂)  при заданном уровне значимости α и степенях свободы k₁= m и k₂=n-m-1.  При  этом,  если  фактическое  значение  F-критерия  больше  табличного F_факт > F_теор, то  признается  статистическая  значимость уравнения в целом. Для парной линейной регрессии m=1 , поэтому:

Эта формула в общем виде может выглядеть так:

Отношение объясненной части дисперсии переменной (у) к общей дисперсии называют коэффициентом детерминации и используют для характеристики качества уравнения регрессии или соответствующей модели связи. Соотношение между объясненной и необъясненной частями общей дисперсии можно представить в альтернативном варианте:

Коэффициент детерминации R² принимает значения в диапазоне от нуля до единицы 0≤ R² ≤1. Коэффициент детерминации R² показывает, какая часть дисперсии результативного признака (y) объяснена уравнением регрессии.Чем больше R², тем большая часть дисперсии результативного признака (y) объясняется уравнением регрессии и тем лучше уравнение регрессии описывает исходные данные. При отсутствии зависимости между (у) и (x) коэффициент детерминации R² будет близок к нулю. Таким образом, коэффициент детерминации R² может применяться для оценки качества (точности) уравнения регрессии. Возникает вопрос, при каких значениях R² уравнение регрессии следует считать статистически незначимым, что делает необоснованным его использование в анализе? Ответ на этот вопрос дает   F - критерий Фишера F_факт > F_теор - делаем вывод о статистической значимости уравнения регрессии. Величина  F - критерия связана с коэффициентом детерминации R²_xy (r²_xy), и ее можно рассчитать по следующей формуле:

Либо при оценке значимости индекса (аналог коэффициента) детерминации:

 где:  i² - индекс (коэффициент) детерминации, который рассчитывается:

Использование коэффициента множественной детерминации R² для оценки качества модели, обладает тем недостатком, что включение в модель нового фактора (даже несущественного) автоматически увеличивает величину R². Поэтому, при большом количестве факторов, предпочтительнее использовать, так называемый, улучшенный, скорректированный коэффициент множественной детерминации R², определяемый соотношением:

где p – число факторов в уравнении регрессии, n – число наблюдений. Чем больше величина p, тем сильнее различия между множественным коэффициентом детерминации R² и скорректированным R². При использовании скорректированного R², для оценки целесообразности включения фактора в уравнение регрессии, следует учитывать, что увеличение его величины (значения), при включении нового фактора, не обязательно свидетельствует о его значимости, так как значение увеличивается  всегда, когда t-статистика больше единицы (|t|>1). При заданном объеме наблюдений и при прочих равных условиях, с увеличением числа независимых переменных (параметров), скорректированный коэффициент множественной детерминации убывает. При небольшом числе наблюдений, скорректированная величина коэффициента множественной детерминации R² имеет тенденцию переоценивать долю вариации результативного признака, связанную с влиянием факторов, включенных в регрессионную модель. Низкое значение коэффициента множественной корреляции  и коэффициента множественной детерминации R² может быть обусловлено следующими причинами: в регрессионную модель не включены существенные факторы; неверно выбрана форма аналитической зависимости, не реально отражающая  соотношения между переменными, включенными в модель.

Для оценки значимости парного коэффициента корреляции (корень квадратный из коэффициента детерминации), при условии линейной формы связи между факторами, можно использовать t-критерий Стьюдента:

При численности объектов анализа до 30 единиц возникает необходимость проверки значимости (существенности) каждого коэффициента регрессии. При этом выясняют насколько вычисленные параметры характерны для отображения комплекса условий: не являются ли полученные значения параметров результатами действия случайных причин. Значимость коэффициентов простой линейной регрессии (применительно к совокупностям, у которых n<30) осуществляют с помощью t-критерия Стьюдента. При этом вычисляют расчетные (фактические) значения t-критерия для параметров a0 а1:

n-число наблюдений, m-число параметров уравнения регрессии, σ_ε-(остаточное) среднее квадратическое отклонение результативного признака от выровненных значений ŷ; σ_х-среднее квадратическое отклонение факторного признака от общей средней.

Вычисленные, по вышеприведенным формулам, значения сравнивают с критическими t, которые определяют по таблице значений Стьюдента с учетом принятого уровня значимости  α  и числа степеней свободы вариации k (ν)=n-2. В социально-экономических исследованиях уровень значимости α обычно принимают равным  0,05.  Параметр признаётся значимым (существенным)  при условии,  если   t_расч. > t_табл. В этом случае, практически невероятно, что найденные значения параметров обусловлены только случайными совпадениями.