Теоретические сведения о функциях - Теория Графов - Математика - Каталог статей - AlexLat
Главная » Статьи » Математика » Теория Графов

Теоретические сведения о функциях

Теоретические сведения о функциях

1.3. Числовые функции

1.3.5. Монотонность функций

Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 x2, выполняется неравенство f (x1) f (x2).

Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 x2, выполняется неравенство f (x1) > f (x2).

  Рисунок 1.3.5.1.Промежутки возрастания и убывания функции
На показанном на рисунке графике функция y f (x)Є[a;b] возрастает на каждом из промежутков  и    и убывает на промежутке  . Обратите внимание, что функция возрастает на каждом из промежутков    и  , но не на объединении промежутков[a;,x1)U(x2;b]

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Заметим, что если f – монотонная функция на промежутке D (f (x)), то уравнение f (x) = const не может иметь более одного корня на этом промежутке.

Действительно, если x1 < x2 – корни этого уравнения на промежутке D (f(x)), то f (x1) = f (x2) = 0, что противоречит условию монотонности.

Перечислим свойства монотонных функций (предполагается, что все функции определены на некотором промежутке D).                                                                  


  • Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией.
  • Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция.
  • Если функция f возрастает, то функции cf (c > 0) и f + c также возрастают, а функция cf (c < 0) убывает. Здесь c – некоторая константа.
  • Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция 1/f убывает.
  • Если функция f возрастает и неотрицательна, то f  где nЄN, также возрастает.
  • Если функция f возрастает и n – нечетное число, то f  также возрастает.
  • Композиция g (f (x)) возрастающих функций f и g также возрастает.

Аналогичные утверждения можно сформулировать и для убывающей функции.



Модель 1.9. Свойства функции

Точка a называется точкой максимума функции f, если существует такая ε-окрестность точки a, что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f (a)≥ f (x).

Точка a называется точкой минимума функции f, если существует такая ε-окрестность точки a, что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f (a) ≤ f (x).

Точки, в которых достигается максимум или минимум функции, называются точками экстремума.

В точке экстремума происходит смена характера монотонности функции. Так, слева от точки экстремума функция может возрастать, а справа – убывать. Согласно определению, точка экстремума должна быть внутренней точкой области определения.

Если для любого  x Є D ( x ≠ ) выполняется неравенство f (x ≤ f (a) (aЄ D)    то точка a называется точкой наибольшего значения функции на множестве D:

Если для любого x Є D (x ≠ b) выполняется неравенство f (xf (b)   (bЄ D) то точка b называется точкой наименьшего значения функции на множестве D

Точка наибольшего или наименьшего значения может быть экстремумом функции, но не обязательно им является.

Точку наибольшего (наименьшего) значения непрерывной  на отрезке функции следует искать среди экстремумов этой функции и ее значений на концах отрезка.


График 1.3.5.1.
Функция, ограниченная сверху


График 1.3.5.2.
Функция, ограниченная снизу


Если существует число C такое, что для любого x Є D выполняется неравенство f (x) ≤ C, то функция f называется ограниченной сверху на множестве D

.

Если существует число c такое, что для любого x Є D выполняется неравенство f (x) ≥ c, то функция f называется ограниченной снизу на множестве D.

Функция, ограниченная и сверху, и снизу, называется ограниченной на множестве D. Геометрически ограниченность функции f на множестве D означает, что график функции y = f (x),  x Є D лежит в полосеc ≤ y ≤ C.

Если функция не является ограниченной на множестве, то говорят, что она не ограничена.

Примером функции, ограниченной снизу на всей числовой оси, является функция y = x2. Примером функции, ограниченной сверху на множестве (–∞; 0) является функция y = 1/x. Примером функции,                                 График 1.3.5.3.

Функция, ограниченная на множестве D

.ограниченной на всей числовой оси, является функция y = sin x.





[ax1)(x2b](x1x2)[ax1)(x2b]
Категория: Теория Графов | Добавил: alexlat (23.05.2012)
Просмотров: 790 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]