Задача коммивояжера - Теория Графов - Математика - Каталог статей - AlexLat
Главная » Статьи » Математика » Теория Графов

Задача коммивояжера
 Задача коммивояжера
1. Общее описание

Задача коммивояжера (в дальнейшем сокращённо - ЗК) является одной из знаменитых задач теории комбинаторики. Она была поставлена в 1934 году, и об неё, как об Великую теорему Ферма обламывали зубы лучшие математики. В своей области (оптимизации дискретных задач) ЗК служит своеобразным полигоном, на котором испытываются всё новые методы.

Постановка задачи следующая.

Коммивояжер (бродячий торговец) должен выйти из первого города, посетить по разу в неизвестном порядке города 2,1,3..n и вернуться в первый город. Расстояния между городами известны. В каком порядке следует обходить города, чтобы замкнутый путь (тур) коммивояжера был кратчайшим?
Чтобы привести задачу к научному виду, введём некоторые термины. Итак, города перенумерованы числами jÎТ=(1,2,3..n). Тур коммивояжера может быть описан циклической перестановкой t=(j1,j2,..,jn,j1), причём все j1..jn – разные номера; повторяющийся в начале и в конце j1, показывает, что перестановка зациклена. Расстояния между парами вершин  Сij образуют матрицу С. Задача состоит в том, чтобы найти такой тур t, чтобы минимизировать функционал  
                   
Относительно математизированной формулировки ЗК уместно сделать два замечания.
Во-первых, в постановке Сij означали расстояния, поэтому они должны быть неотрицательными, т.е. для всех jÎТ: 

                                            Сij³0; Cjj=∞

(последнее равенство означает запрет на петли в туре), симметричными, т.е.  для всех i,j:

                                               Сij= Сji.

и удовлетворять неравенству треугольника, т.е. для всех:

                       Сij+ Сjk³Cik

В математической постановке говорится о произвольной матрице. Сделано это потому, что имеется много прикладных задач, которые описываются основной моделью, но всем условиям (2)-(4) не удовлетворяют. Особенно часто нарушается условие (3) (например, если Сij – не расстояние, а плата за проезд: часто туда билет стоит одну цену, а обратно – другую). Поэтому мы будем различать два варианта ЗК: симметричную задачу, когда условие (3) выполнено, и несимметричную - в противном случае. Условия (2)-(4) по умолчанию мы будем считать выполненными.
Второе замечание касается числа всех возможных туров. В несимметричной ЗК все туры t=(j1,j2,..,jn,j1) и t’=(j1,jn,..,j2,j1) имеют разную длину и должны учитываться оба. Разных туров очевидно (n-1)!.
Зафиксируем на первом и последнем месте в циклической перестановке номер j1, а оставшиеся n-1 номеров переставим всеми (n-1)! возможными способами. В результате получим все несимметричные туры. Симметричных туров имеется в два раз меньше, т.к. каждый засчитан два раза: как t и как t’.
Можно представить, что С состоит только из единиц и нулей. Тогда С можно интерпретировать, как граф, где ребро (i,j)  проведено, если Сij=0 и не проведено, если Сij=1. Тогда, если существует тур длины 0, то он пройдёт по циклу, который включает все вершины по одному разу. Такой цикл называется гамильтоновым циклом. Незамкнутый гамильтонов цикл называется гамильтоновой цепью (гамильтоновым путём).
В терминах теории графов симметричную ЗК можно сформулировать так:
Дана полная сеть с n  вершинами, длина ребра (i,j)= Сij. Найти гамильтонов цикл минимальной длины.
В несимметричной ЗК вместо "цикл” надо говорить "контур”, а вместо "ребра” - "дуги” или "стрелки”.
Некоторые прикладные задачи формулируются как ЗК, но в них нужно минимизировать длину не гамильтонова цикла, а гамильтоновой цепи. Такие задачи называются незамкнутыми. Некоторые модели сводятся к задаче о нескольких коммивояжерах, но мы здесь их рассматривать не будем.
 
Категория: Теория Графов | Добавил: alexlat (22.06.2012)
Просмотров: 1058 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]