Логарифмические уравнения - Уравнения - Математика - Каталог статей - AlexLat
Главная » Статьи » Математика » Уравнения

Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное входит в виде аргумента логарифмической функции.

            Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

                                                              ,                                                              (26)

где α - некоторое положительно число, отличное от единицы, b - любое действительное число. Логарифмическое уравнение (26) эквивалентно алгебраическому уравнению

f(x) =αb.

В простейшем случае, когда f(x) =x, логарифмическое уравнение (26) имеет решение

 x = αb.

Множество решений логарифмического уравнения вида R(logax)=0 , где  R - некоторый многочлен указанного неизвестного, находится следующим образом.

Вводится новая переменная logax = y , и уравнение (25) решается как алгебраическое уравнение относительно y. После этого решаются простейшие логарифмические уравнения вида (25).

П р и м е р 1. Решить уравнение


                                                    .                                                    (27)

            Относительно неизвестного log2x = y   данное уравнение – квадратное:

 y²+y-2 = 0

            Корни этого уравнения: y1=1,y2 =-2 , .

            Решая логарифмические уравнения

log2x =1,log2x =-2,

получаем решения логарифмического уравнения (27):x1= 2, x2=1/4 , .

            В некоторых случаях, для того чтобы свести решение логарифмического уравнения к последовательному решению алгебраического и простейших логарифмических уравнений, необходимо предварительно сделать подходящие преобразования логарифмов, входящих в уравнение. Такими преобразованиями могут быть преобразование суммы логарифмов двух величин в логарифм произведения этих величин, переход от логарифма с одним основанием к логарифму с другим основанием и т. д.

            П р и м е р 2. Решить уравнение

                                            . 

                                           (28)

            Для того чтобы свести решение данного уравнения к последовательному решению алгебраического и простейших логарифмических уравнений, необходимо прежде всего привести все логарифмы к одному основанию (здесь, например, к основанию 2). Для этого воспользуемся формулой

,

в силу которой . Подставив в уравнение (28) вместо  равную ему величину, получаем уравнение


.

            Заменой  это уравнение сводится к квадратному уравнению относительно неизвестного y:

.y² - y  -6 = 0

Корни этого квадратного уравнения:y1= 3, y= -2 , . Решаем уравнения   и :

   ,

 ,

            П р и м е р 3. Решить уравнение


.

            Преобразуя разность логарифмов двух величин в логарифм частного этих величин:


,

сводим данное уравнение к простейшему логарифмическому уравнению

 x = 2.

 

Категория: Уравнения | Добавил: alexlat (25.04.2012)
Просмотров: 954 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]