Модель II. Модель Уилсона с ограничениями на складские помещения - Задача Лагранжа - Математика - Каталог статей - AlexLat
Главная » Статьи » Математика » Задача Лагранжа

Модель II. Модель Уилсона с ограничениями на складские помещения
Модель II. Модель Уилсона с ограничениями на складские помещения
Пусть торговое предприятие в течении периода времени Т должно завести и
реализовать n видов товара. Соответственно обозначим:
Ri - полный спрос i – го товара за время Т;
C1i – стоимость хранения одной единицы i-го товара планируемом периоде времени;
CSi - расходы по завозу одной партии i – го товара;
Vi - объем складского помещения занимаемый одной единицей i –го товара.
V - вся ёмкость складского помещения.
Все эти значения считаются заранее известными. Неизвестный пока размер одной
поставки i-го товара обозначим через qi, а через qio будем в дальнейшем
обозначать оптимальный размер одной поставки i-го товара.
 

Тогда в соответствии с (2) полные издержки по завозу и хранению i-го товара
будут равны:
 

а суммарные издержки по всем видам товара принимают вид:
Далее Vi * qi – объем складских помещений, которые занимают i-ый вид товара,
åVi qi - объем складских помещений, занимаемых всеми видами товара и
должно выполняться очевидные соотношения,
  
 qi £ Ri, qi ³ 0 (30). 
Итак, приходим к следующей задаче Лагранжа:
Найти минимум нелинейной функции (12) при линейных ограничениях (29) и (30).
Функция Лагранжа рассматриваемой задачи (28) – (30) имеет вид:
 



Функция Лагранжа (31) совпадает с целевой функцией (28) в случаи если в (31)
 


или
Следуя алгоритму решения задачи Лагранжа, найдем частные производные функции
(31) по всем qi и прировняем их к нулю:
 



Каждое из уравнений системы (34) определяет соответствующее значение
 



где в правой части все значения параметров известны за исключением множителя
l. Для определения значения подставим выражения qi в условие (32). Получаем:
 



В соотношении (36) все величины, кроме l, заранее известны, т.е. оно является
иррациональным уравнением с одним неизвестным. Его всегда можно разрешить
относительно множителя l. Найдя значения l = l0, можно определить оптимальные
величины поставок каждого из товаров по формулам:
Теперь можно рассматривать конкретный пример.
Пусть торговое предприятие намерено завести и реализовать товар трех видов (n
= 3) объемами соответственно 24 тыс. ед, 20 тыс. ед. и 16 тыс. ед. Весь объем
складских помещений составляет 18 000 куб. м. Стоимость хранения одной
единицы первого вида товара 6 руб., второго – 8 руб., третьего – 10 руб.
Расходы по завозу одной партии первого вида товара 1200 руб., второго – 1600
руб., третьего – 2000 руб. При этом одна единица первого вида товара занимает
3 куб. м., второго – 4 куб. м., третьего – 5 куб. м. Найти оптимальные
размеры поставок каждого из видов товара. По условию имеем:
R1 = 24000, R2 = 20000, R3 = 16000;
C11 = 6, C12 = 8, C13 = 10;
Cs1 = 1200, Cs2 = 1600, Cs3 = 2000;
V1 = 3, V2 = 4, V3 = 5;
V = 18000;
 



Составляем уравнение вида (36) для определения значения множителя l;
 




или
 



откуда lо = - 2,41.
 


Найдем величины оптимальных поставок каждого из товаров по формулам (37):
Проверим выполнимость условия (29) при найденных объемах оптимальных
поставок. Должно выполняться:
 V1 * q1о + V2 * q2о + V3 * q3о £ V = 18000. 
Имеем:
 3 * 1677 + 4 * 1531 + 5 * 1369 = 5031 + 6124 + 6845 = 18000. 
Выполнимость неравенства (29) служит подтверждением того, что объемы
оптимальных поставок определены верно. Более того. Неравенство (29) в нашем
примере выполнилось как равенство, что говорит о том, что при первом завозе
товара все складские помещения будут заполнены максимально полно. С течением
времени, при последующих завозах товара, картина будет конечно же не столь
идеальной и какая та часть складских помещений будет не заполнена.
Здесь можем заметить одну небольшую "уловку” в этом примере исходные данные в
примере подобраны так, что иррациональное уравнение (*) вида (36) имеет во
всех трех слагаемых один и тот же знаменатель, что конечно же упрощает
решение уравнения. Эта "уловка” использована для облегчения рассмотрения
примера, поскольку нашей главной целью в настоящий момент не является
возможность разрешения иррационального уравнения. И тем не менее, возникает
вопрос: а что же делать, когда при использовании этой модели на практике
исходные данные будут таковы, что нашей "уловкой” воспользоваться будет
невозможно. Ответ на этот вопрос достаточно прост: в современной математике
разработаны десятки методов приближенных решений уравнений и потому значения
множителя l можно определить из уравнения (36) приближенно с любой степенью
точности. К тому же несмотря на нашу "уловку” облегчающую нахождения значения
l, тем не менее мы определили его приближение. С учетом выше сказанного,
можем прийти к выводу, что использованная "уловка” не сужается общностью
рассмотрения модели.
Категория: Задача Лагранжа | Добавил: alexlat (27.04.2012)
Просмотров: 770 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]