МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ - Анализ - Математика - Каталог статей

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. §1 ПОНЯТИЕ ОКРЕСТНОСТИ,БЕСКОНЕЧНО МАЛОГО,ПРЕДЕЛА, НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ. ОКРЕСТНОСТЬЮ ТОЧКИ Хо называется любой интервал,содержащий эту точку. ПРОКОЛОТОЙ ОКРЕСТНОСТЬЮ т.Хо называется окрестность т.Хо, из которой выброшена сама точка. ОКРЕСТНОСТЬЮ "+" БЕСКОНЕЧНОСТИ называется любой полу- бесконечный промежуток вида (а;+ ). ОКРЕСТНОСТЬЮ "-" БЕСКОНЕЧНОСТИ называется любой полу- бесконечный промежуток вида (- ;b). ОКРЕСТНОСТЬЮ БЕСКОНЕЧНОСТИ называется объединение двух любых окрестностей + и - . Функция f(х) называется бесконечно малой в окрестности т.Хо,если для любого числа >0 существует проколотая окр. т.Хо такая,что для любого числа Х,принадлежащего прокол.окр.т.Хо выполняется неравенство ¦f(х)¦< . >0 U U => ¦f(x)¦< Число А называется пределом ф-ции f(х) в т.Хо,если в некоторой прок.окр. этой точки ф-цию f(х) можно представить в виде f(х)=А+ (х),где (х)-бесконечно малое в окрестности т.Хо. *limf(x)=А* Ф-ция f(х) называется непрерывной в т.Хо,если в некоторой окр.т.Хо эту ф-цию можно представить в виде:f(х)=f(х )+ (х), где (х)-б.м. в окр.т.Хо. Иными словами,f(х)-непрерывна в т.Хо,если она в этой точке имеет предел и он равен значению ф-ции. ТЕОРЕМА:Все элементарные ф-ции непрерывны в каждой точке области определения. Схема:1.ф-я элементарна 2. определена 3. непрерывна 4. предел равен значению ф-ции 5. значение ф-ции равно 0 6. можно представить в виде б.м. СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ: Теорема#1:Единственная константа,явл-ся б.м.-0 Теорема#2:Если (х) и (х) -б.м. в окр.т.Хо,то их сумма тоже б.м. в этой окр. Ф-ция f(х) называется ограниченной в окр.т.Хо,если сущ. проколотая окр.т.Хо и сущ. число М>0,такие что ¦f(х)¦<М в каждой точке прок.окр.т.Хо. U M>0: ¦f(x)¦<M x U Теорема#3:Если (х) -б.м. в окр.т.Хо,то она ограничена в этой окр. Теорема#4:О произведении б.м. на ограниченную: Если ф-ция (х) -б.м.,а f(х) -ограниченная в окр.т.Хо,то **(х)f(х)* -б.м. в окр.т.Хо. Теорема#5:О промежуточной б.м.: Если (х) и (х) -б.м. в окр.т.Хо и (х)< (х)< (х) в окр.т.Хо U ,то (х) -б.м. в окр.т.Хо. Две б.м. называются сравнимыми,если существует предел их отношения. Б.м. (х) и (х) в окр.т.Хо называются одного порядка, если предел их отношений есть число не равное 0. Две б.м. в окр.т.Хо называются эквивалентными,если предел их отношения равен 1. Теорема#1:Если и -эквивалентные б.м.,то их разность есть б.м. более высокого порядка,чем и чем . Теорема#2:Если разность двух б.м. есть б.м. более высокого порядка,чем и чем ,то и есть эквивалентные б.м. Таблица основных эквивалентов б.м.: Х0 sinх х е-1 х ln(1+х) х (1+х) -1 х Асимптотические представления: Х0 sinx=x+0(x) e =1+x+0(x) ln(1+x)=х+0(x) (1+x) =1+ x+0(x) Св-во экв.б.м.: Если (х) и (х) -экв.б.м. в окр.т.Хо,а (х) и (х) -экв.б.м. в окр.т.Хо и сущ. lim =А,то тогда сущ. lim и он равен А. §2 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА. Если (х) и (х) -б.м. в окр.т.Хо и lim =0,то (х) называется бесконечно малой более высокого порядка,чем (х). (х)=о( (х)). Замечание:Если (х)-более высокого порядка,чем (х), то (х)=о(k (х)),k=0 Теорема БЕЗУ:Если -корень многочлена,то многночлен делится без остатка на (х- ). §3 ОСНОВНЫЕ СВ-ВА Ф-ЦИЙ,ИМЕЮЩИХ ПРЕДЕЛ.** ЛЕММА об оценке ф-ции,имеющей предел отличный от нуля: Если предел ф-ции f(х) в т.Хо равен А и А>0,то А/2<f(х)<3А/2 в некоторой проколотой окр.т.Хо. Замечание:Если предел *А<0,то 3А/2<f(х)<А/2.* ТЕОРЕМА#1.Необходимое условие ограничиности ф-ции, имеющей предел: Если ф-ция f(х) имеет в точке предел,то она ограничена в окрестности этой точки. ТЕОРЕМА#2.Арифметические операции над ф-циями, имеющих предел. Если f(х) и f(х) имеют предел в т.Хо: lim f(х)=А lim f(х)=B,то тогда 1.сущ.предел их суммы и он равен сумме пределов. 2.сущ.предел их произведения и он равен произведению пределов. 3.если В=0,то сущ.предел отношения и он равен отношению пределов. ТЕОРЕМЫ,СВЯЗАННЫЕ С НЕРАВЕНСТВАМИ: Т.1:Если ф-ция f(х),имеющая предел в т.Хо,больше 0, то f(х)>0 в прокол.окр.т.Хо. Наоборот,если f(х),имеющая предел в т.Хо,меньше 0, то f(х)<0 в прокол.окр.т.Хо. Т.2:Если ф-ция f(х) имеет предел в т.Хо и f(х)>0 в некоторой прокол.окр.т.Хо,то и предел f(х)>0 в т.Хо. Т.3:Если ф-ции f(х) и f(х) имеют предел в т.Хо: lim f(х)=А lim f(х)=В и f(х)<f(х) в некоторой прокол.окр.т.Хо,то и пределы А<В. Т.4 о пределе промежуточной ф-ции: Если ф-ции f(х) и f(х) имеют один и тот же предел А в т.Хо и ф-ция f(х)<f(х)<f(х) в некоторой прокол. окр.т.Хо,то тогда сущ.предел f(х) и он равен А. ТЕОРЕМА о переходе к пределу под знаком непрерывной ф-ции: Если ф-ция f(u) непрерывна в т.Uо,а ф-ция u= (х) имеет предел в т.Хо,и предел ф-ции (х) равен Uо,то тогда сложная ф-ция f[ (х)] имеет предел в т.Хо и этот предел равен f(Uо),т.е. предел f[ (х)] равен значению ф-ции от предела .f[ (х)]=flim (х). §4 О ПРЕДЕЛАХ СВЯЗАННЫХ С ЧИСЛОМ e. ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ называется ф-ция,область определения которой -натуральные числа. Формула НЬЮТОНА-бинома: (a+b)= с a b c=n!/k!(n-k)! c -кол-во сочетаний из n по k. *n!=123...n* СОЧЕТАНИЯМИ называются всевозможные подмножества данного множества,в частности рассматривают сочетания множества из n-элементов по k-элементов. Замечание: 0!=1 Таблица биномиальных коэффициентов: n=1 1 1 n=2 1 2 1 n=3 1 3 3 1 n=4 1 4 6 4 1 n=5 1 5 10 10 5 1 n=6 1 6 15 20 15 6 1 lim(1+x) =e §5 БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ Ф-ЦИИ.ПОВЕДЕНИЕ Ф-ЦИИ В БЕСКОНЕЧНОСТИ.АСИМТОТЫ. Ф-ция f(х) называется бесконечно большой в окр.т.Хо,если 1/f(х) будет б.м. Асимтоты: Прямая Т называется асимтотой кривой L,если растояние от т.М,лежащей на кривой L,до прямой Т стремится к 0,когда т.М по кривой удаляется в бесконечность,т.е. когда растояние от т.М до фиксированной т.О стремится в беско- нечность. Асимтоты графиков ф-ции: Теорема#1:Для того,чтобы прямая kx+b была асимтотой при х+ ,необходимо и достаточно,чтобы f(х)=kx+b+ (х) при х+ . Теорема#2:Для того,чтобы прямая y=kx+b была ас-той гр-ка ф-ции f(х) при х+ ,необходимо и достаточно существование предела при х+ f(х)/х=k и сущ.предела при х+ [f(х)-kx]=b,т.е.,если хотя бы один из пределов не сущ.,то ас-ты нет. Исследование поведения ф-ции в окр.точки разрыва.Классификация точек разрыва: 0:ТОЧКА УСТРАНИМОГО РАЗРЫВА-точка, в которой ф-ция имеет предел,но не является непрерывной. 1:ТОЧКА РАЗРЫВА ПЕРВОГО РОДА-точка,в которой ф-ция имеет предел слева,имеет предел справа, но эти пределы не равны. 2:ТОЧКА РАЗРЫВА ВТОРОГО РОДА-точка,которая не является точкой устранимого разрыва и точкой разрыва первого рода. §6 ЛОКАЛЬНЫЕ И ГЛОБАЛЬНЫЕ СВ-ВА НЕПРЕРЫВНЫХ Ф-ЦИЙ. ЛОКАЛЬНЫЕ СВ-ВА-св-ва ф-ции непрерывных в данной точке, т.к. непрер.ф-ция имеет предел,то все св-ва таких ф-ций, имеющих предел,распространяются на непрерывные. Свойства:если f(х) непрер.в т.Хо и f(Хо)>0,то ф-я больше нуля в некоторой окр.т.Хо или;если f(х) и f(х) непрер. в т.Хо,то их сумма тоже непрер.в этой точке. ГЛОБАЛЬНЫЕ СВ-ВА: Ф-ция f(х) называется непрерывной на отр.[a;b],если она непрерыв.в каждой точке интервала (a;b) и непрерывна в т.А справа и в т.В слева. lim f(x)=f(a),lim f(x)=f(b) ТЕОРЕМЫ КОШИ: Теорема#1:Если ф-ция f(х) непр. на отр.[a;b] и на концах отрезка принимает значения разных знаков (*f(а)f(b)<0), то сущ.точка С на отр.[a;b],такая что f(С)=0. Теорема#2:Если ф-ция непр. на отр.[a;b] и на концах отр. принимает разные значения (f(a)=f(b)),то тогда для любого числа Q,лежащего между f(а) и f(b),сущ.т.С,принадлеж.отр. [a;b],такая что f(С)=Q. ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА: Теорема#1:Если ф-ция f(х) непр. на отр.[a;b],то сущ. числа m<f(x)<M в каждой точке этого отрезка (т.е.ф-я ограничена) Теорема#2:Если ф-ция f(х) непр.на отр.[a;b],то сущ. точки x и x [a;b],такие что f(x )<f(x)<f(x ) в каждой точке этого отрезка. ГЛАВА#2:ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. §1.ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА.ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ И СВ-ВА. Отрезок AB называется направленным,если указана,какая из точек A и B явл.началом,а какая концом. Два направленных отрезка называются равными,если они лежат на одной или на параллельных прямых,со-направлены и имеют одинаковые длины,т.е.если один получается из другого парал. переносом. Вектором называется направленный отрезок. Векторы называются коллинеарными,если они лежат на одной прямой или на парал. прямых. Векторы называются компланарными,если они лежат в одной или парал. пл-тях. Суммой векторов a и b называется вектор,обозначенный a+b,начало которого совпадает с началом вектора a,а конец -с концом b, при условии,что начало вектора b совмещено с концом а. Произведением а на число называется вектор,обозначенный а,такой что: 1.¦ a¦=¦ ¦¦a¦* a=0,если =0 2. а¦¦а а¦¦а,если >0 а¦¦а,если <0 СВ-ВА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАЦИЙ: 1.Коммутативность: Для любых а и b:а+b=b+a замечание:отсюда следует,что сумму векторов а и b можно строить как диагональ параллелограмма,построенных на векторах а и b, причем начало всех трех векторов совмещены. 2.Ассоциативность: Для любых а,b и с:(а+b)+с=а+(b+с) замечание:отсюда следует,что чтобы сложить векторы а ,а ,...,а нужно сложить из них ломанную,совмещая начало последущего вектора с концом предыдущего,тогда их сумма -замыкающая. 3.Существует вектор,называемый нуль-вектор,такой что для всех а: а+0=а. 4.Для любого а сущ.вектор,называемый противоположным,обознач.-а, такой что а+(-а)=0 *5.Для всех а:1а=а 6.Для любого а и любых чисел и :( * )а= ( а)= ( а)* *7.Для любого а и любых чисел и :( + )а= а+ а 8.Для любых а и b и любого числа : (а+b)= а+ b* Разностью векторов а и b называется вектор (а+(-b)) Если даны векторы а ,а ,...,а и числа , ,..., ,то вектор а + а +...+ а -называется линейной комбинацией векторов а ,а ,...,а с коэффициентами , ,..., . Множество,для элементов которого определены операции (сложения и умножения на число),для которых справедливы выше восемь св-в (аксиом) называется линейным пространством. §2.Понятие линейной зависимости,размерности,базиса и координации. Система векторов а ,а ,...,а называется линейно зависимой,если хотя бы один из векторов этой системы есть линейная комбинация остальных векторов этой системы. ИЛИ Для того,чтобы система векторов а ,а ,...,а была линейно зависи- мой необходимо и достаточно,чтобы существовали числа , ,..., , не равные 0,такие что линейная комбинация а + а +...+ а равнялась нуль-вектору. Система векторов называется линейно не зависимой,если она не яв- ляется линейно зависимой,т.е. ни один вектор этой системы не яв- ляется линейной комбинацией остальных и равенство 0 линейной ком- бинации векторов этой системы возможно только в том случае,когда все коэффициенты равны 0. Размерностью линейного пространства называется максимальное число линейно не зависимых векторов. Базисом называется линейно независимая система векторов,такая, при которой любой вектор,принадлежащий этому пространству,может быть выражен в виде линейной комбинации векторов этой системы. Теорема единственности: Если задан базис е ,е ,е ,то разложение любого вектора а по этому базису единственно: а= е + е + е Если дан базис е ,е ,е ,то коэффициенты разложения вектора по этому базису называются координатами. а=( , , ) замечание:у одного и того же вектора в разных базисах разные координаты. Условие коллинеарности: / = / = / замечание:если в одной из дробей в знаменателе 0,то равенство нужно понимать так,что в числителе тоже 0. Каноническое ур-е прямой: x x /m=y-y /p=z-z /q §3.ПОНЯТИЯ ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРА НА ОСЬ,СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ. СВ-ВА ПРОЕКЦИИ И СКАЛЯР.ПРОИЗВЕДЕНИЯ.ПРИЛОЖЕНИЕ. Углом между двумя векторами (отличными от 0) называется наименьший угол между двумя лучами,проведенные из одной точки пространства в направлениях этих векторов. Численной проекцией вектора а на вектор b (b=0) называется число равное произведению модуля а на cos угла между ними. *Пр а=¦а¦cos a,b Св-ва: Пр (а+b)=Пр а+Пр b Пр (ka)=kПр а Проекцией вектора на ось называется длина отрезка АВ между основаниями перпендикуляров,опущенных из точек А и В на ось. Радиус-вектором точки пространства называется вектор,идущий в эту точку из некоторой фиксированной точки,наз. полюсом. Скалярным произведением а и b называется число равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними. CВ-ВА: 1.условие перпендикулярности векторов: (а,b)=0 <=> а_b 2.коммутативность: (а,b)=(b,а) 3.билинейность: 3.1: (а +а ;b)=(а ,b)+(а ,b) (а,b +b )=(а,b )+(а,b ) 3.2: ( а,b)=(а, b)= (а,b) Правило:Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. (а,b)=x x +y y +z z Приложения: 1.¦а¦= (а,а) = x +y +z ,если а=(x,y,z) 2.(а,b)=0<=>а_b 3.cos а,b=(а,b)/¦а¦¦b¦ 4.Пр а=(а,b)/¦b¦ Направляющими косинусами углов называются cos углов,которые вектор образует с векторами базиса i,j,k. cos =x/¦a¦ cos =y/¦a¦ cos =z/¦a¦ cos +cos +cos =1,т.к. (x +y +z )/¦a¦=1. §4.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ СВ-ВА. Матрицей порядка mn* называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Квадратной матрицей n-порядка называется матрица,у которой число строк равно числу столбцов и равно n. Каждой кв.матрице ставится в соответствие число называемое определителем матрицы. Определителем кв.матрицы n-порядка называется число равное алгебраической сумме всевозможных произведений n-элементов матрицы,взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем перед каждым произведением по определенному правилу ставится знак "+" или "-". Алгебраической суммой называется сумма,в которой где-то ставится "+",а где-то "-". Элементы матрицы,у которых No строки совпадает с No столбца образуют главную диагональ матрицы. Операция замены строк матрицы ее столбцами с соответствующими номерами называется транспортированием,а получившаяся матрица- транспортированной. СВ-ВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ: 1.При транспортировании матрицы ее определитель не меняется. 2.Если в матрице поменять местами две строки (столбца),то ее определитель умножится на -1. 3.Определитель матрицы равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на их алгебраические дополнения. 4.Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) матрицы умножить на число k, то ее определитель умножится на k. 5.Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) матрицы представляют собой сумму двух слагаемых,то определитель матрицы равен сумме двух определителей.У первого на месте этой строки стоят первые слагаемые,а у второго -вторые,а все остальные строки у всех трех определителей одинаковы. 6.Определитель матрицы не изменится,если к одной ее строке (столбцу) прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов). 7.Если элементы одной строки умножить на соответствующие алгебраические дополнения другой строки и сложить,то получится 0. 8.Линейная комбинация адгебраических дополнений элементов какой- нибудь строки равна определителю,у которого на месте этой строки стоят соответствующие коэффициенты линейной комбинации,а остальные строки совпадают со строками данного определителя. Минором,соответствующим элементу матрицы а ,называется определитель матрицы,которая получится,если в данной матрице вычеркнуть строку и столбец,в которых стоит а . Алгебраическим дополнением элемента а называется число равное *А =М (-1) Достаточные признаки равенства нулю определителя: 1.Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) матрицы равно нулю,то определитель равен 0. 2.Если в матрице есть две одинаковые строки (столбца),то ее определитель равен 0. 3.Если матрица содержит две строки,соответствующие элементы которой пропорциональны,то ее определитель равен 0. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя: Для того чтобы определитель матрицы был равен 0,необходимо и достаточно,чтобы ее строки (столбцы) были линейно зависимы. §5.ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. Тройка некомпланарных векторов a,b,c,начало которых совмещены, называется правой,если кратчайший поворот от вектора а к вектору b виден совершающимся против часовой стрелки с конца вектора с.В противном случае тройка называется левой. СВ-ВА ориентированных троек векторв: 1.Если a,b,c -правая,то тройки b,c,a и c,a,b будут тоже правыми. Такая перестановка называется циклической перестановкой.Т.е. при цикл.перестановке ориентация тройки не меняется. 2.Если a,b,c -правая,то тройки b,a.c и a,c,b -левые.Т.е.,если поменять местами какие-нибудь два вектора,то ориентация тройки изменится. Векторным произведением a и b называется вектор с,такой что: 1.если а и b коллинеарны (а¦¦b),то их векторное произведение с=[a,b]=0. 2.если а и b не коллинеарны,то с=[a,b] перпендикулярен а и _ b, т.е.[a,b] _ пл-ти векторов а и b и [a,b] направлен в такую сторону,что тройка векторов a,b,[a,b] -правая.Длина векторного произведения равна ¦[a,b]¦=¦а¦¦b¦sin ab=S параллелограмма, построенного на векторах а и b. СВ-ВО векторного произведения: 1.[a,b]=0 <=>a¦¦b. 2.Антикоммутативность: [a,b]=[b,a],но [a,b]=-[b,a]. 3.Билинейность: 3.1:[a +a ,b]=[a ,b]+[a ,b] [a,b +b ]=[a,b ]+[a,b ]. 3.2:[ a,b]=[a, b]= [a,b]. ¦i j k¦ [a,b]=¦x y z¦ ¦x y z¦ Нормальный вектор -это вектор перпендикулярный пл-ти. Ax+By+Cz+D=0 => n=(A,B,C) Углом между двумя пл-тями называется угол между их нормальными векторами. Углом между прямой и пл-тью называется угол между прямой и ее проекцией на пл-ть,sin этого угла равен cos ,где -угол между направляющим вектором прямой и нормальным вектором пл-ти. Смешанным произведением векторов a ,b ,c называется число,равное скалярному произведению векторного произведения векторов a и b на вектор с. ([a,b],c) Геометрический смысл смешанного произведения: 1.Если векторы a,b,c компланарны,то их смешанное произведение равно 0. 2.Если векторы a,b,c не компланарны,то модуль смешанного произведе- ния равен объему параллелепипеда,построенного на этих векторах, причем смешанное произведение положительно,если тройка a,b,c -пра- вая, и отрицательно,если тройка векторв -левая. СВ-ВА смешанного произведения: 1.([a,b],c)=(a,[b,c]) ([a,b],c) -смешанное произведение a,b,c. (a,[b,c])** -смешанное произведение b,c,a. Эти смешанные произведения равны,т.к. параллелипипед один и тот же и ориентации троек одинаковы (при циклической перестановки ориента- ция троек не меняется). Это св-во показывает,что квадратные скобки можно не ставить: (a,b,c)=([a,b],c) 2.(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)=(c,a,b)=-(b,a,c)=-(a,c,b)=-(c,b,a) 3.Для того,чтобы a,b,c были компланарными <=> (a,b,c)=0 4.Для того,чтобы a,b,c были линейно зависимыми <=> (a,b,c)=0 5.Трилинейность: 5.1: (a+b,c,d)=(a,c,d)+(b,c,d) 5.2: ( a,b,c)=(a, b,c)=(a,b, c)= (a,b,c) Вычисление смешанного произведения: a=(x ,y ,z ) b=(x ,y ,z ) c=(x ,y ,z ) ¦x y z¦ ([a,b],c)=¦x y z¦ ¦x y z¦ §6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая на пл-ти -частный случай прямой в пространстве. У прямой в пространстве нет понятия нормального вектора. Угловым коэффициентом прямой, не парал-ной оси y называ- ется число k, равное tg угла, на который нужно повернуть против часовой стрелки положительную часть оси ,х чтобы она стала парал-ной данной прямой. tg =(k -k )/1+k k Для перпендикулярных прямых: 1+k k=0 Для параллельных прямых:k =k ГЛАВА#2:ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ. §1 ПОНЯТИЯ ДИФФ. Ф-ЦИИ, ПРОИЗВОДНОЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛА. Ф-ция f(х) называется дифференцируемой в т.Хо, если ее приращения f(х + х)-f(х ) можно представить в виде Q(х ) х+о( х),где о( х) -б.м., не зависящая от х, Q( х) -б.м. более высокого порядка, чем х. Q(х )=lim (f(х + х)-f(х ))/ х Этот предел называется производной ф-цией в точке и обозначается f'(х ). Производной ф-цией f(х) в т.Хо называется предел отноше- ния приращения ф-ции к приращению аргумента х, когда х0. (х )'= х (a )'=a lna, ((e )'=e ) (log x)'=1/xlna, ((lnx)'=1/x) sin'x=cosx cos'x=-sinx tg'x=1/cos x ctg'x=-1/sin x arcsin'x=1/ 1-x arccos'x=-1/ 1-x arctg'x=1/1+x arcctg'x=-1/1+x sh'x=chx (shx=e -e /2) ch'x=shx (chx=e +e /2) th'x=1/ch x (thx=shx/chx) cth'x=-1/sh x (cthx=chx/shx) f(x + x)-f(x )=f'(x ) x+o( x), слагаемое f'(x ) x -линейно зависит от х, и если f'(х)=0, то это слагаемое б.м. одного порядка с х. Поэтому это слагаемое является главным в этой сумме и оно называется дифференциалом ф-ции в т.Хо. Дифференциалом дифференцируемой ф-ции в т.Хо называется главная часть приращения, линейно зависящая от х. df=f'(x ) x Асимтотическое представление: f(x + x)=f(x )+f'(x ) x+o( x) f(x + x)=f(x )+df §2 ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ. 1. Если ф-ция f(x) тождественна const, то ее производная тождественна 0. (C)'=0 2. Если ф-ция u(x) и v(x) дифф. в т.Хо, то: 1) их линейная комбинация дифф. в этой точке и ( u+ v)'= u'+ v' 2) их произведение дифф. в т.Хо и (uv)'=u'v+uv' (uvw)'=u'vw+uv'w+uvw' 3) если кроме того v(x )=0, то отношение (u/v)'=u'v-uv'/v 3. Правило дифф. сложной ф-ции. f(u) дифф. в т.Uo, u(x) дифф. в т.Хо, u(x )=u => f(u(x)) -дифф. в т.Хо и (f(u(x)))'=f'(u ) u'(x )
1 2 3 4 5 Категория: Анализ \| Добавил: alexlat (27.06.2012)
Просмотров: 2328 \| Рейтинг: 0.0/0