$AlexLat$

Распределения Бернулли и Пуассона.

Пусть проводятся n испытаний по схеме Бернулли (см. 4.4.3.). Событие А может произойти в результате этой серии опытов 0 раз, 1 раз, … n раз. Рассмотрим случайную величину — число испытаний в которых событие А произошло. Имеем дискретную с.в. с законом распределения

Также говорят, что с.в. Х распределена по биномиальному закону с параметрами n и P и пишут X → B(n,p).

Если  n=1, то говорят, что с.в. Х имеет распределение Бернулли параметром P.

Теорема.

Пусть  X1,X2,...Xn — независимые с.в. распределенные по Бернулли с одинаковым параметром P. Пусть . Sn=X1+X2+...+Xn Тогда   Sn → B(n,p).

Числовые характеристики биномиального закона.

M(X) = n · p,

.D(X) = n·p·q

Если n — велико, а P — мало, то вычисления вероятности по формуле   на практике невозможно. При этих условиях используется формула Пуассона для вычисления вероятности маловозможных событий в массовых испытаниях:  , где λ=np , k!=1·2·...·k , 0! = 1. Соответствующая с.в. распределена по закону Пуассона.

  Нормальное распределение

  Определение и значение

Большинство экспериментальных исследований, в том числе и в области правоведения, связано с измерениями, результаты которых могут принимать практически любые значения в заданном интервале и, как уже было отмечено, описываются моделью непрерывных случайных величин. Поэтому в дальнейшем будут рассматриваться в основном непрерывные случайные величины и связанные с ними непрерывные распределения.

Одним из непрерывных распределений, имеющим основополагающую роль в математической статистике, является нормальное, или гауссово, распределение.

Нормальное распределение является самым важным в статистике. Это объясняется целым рядом причин.

1. Прежде всего, многие экспериментальные наблюдения можно успешно описать с помощью нормального распределения. Следует сразу же отметить, что не существует распределений эмпирических данных, которые были бы в точности нормальными, поскольку (как будет показано ниже) нормально распределенная случайная величина находится в пределах от ∞ до +∞, чего никогда не бывает на практике. Однако нормальное распределение очень часто хорошо подходит как приближение.

Проводятся ли измерения IQ, роста и других физиологических параметров — везде на результаты оказывает влияние очень большое число случайных факторов (естественные причины и ошибки измерения). Причем, как правило, действие каждого из этих, факторов незначительно. Опыт показывает, что результаты именно в таких случаях будут распределены приближенно нормально.

2. Нормальное распределение хорошо подходит в качестве аппроксимации (приближенного описания) других распределений (например, биномиального).

3. Многие распределения, связанные со случайной выборкой, при увеличении объема последней переходят в нормальное.

4. Нормальное распределение обладает рядом благоприятных математических свойств, во многом обеспечивших его широкое применение в статистике.

В то же время следует отметить, что в природе встречается много экспериментальных распределений, для описания которых модель нормального распределения малопригодна. Для этого в математической статистке разработан ряд методов, некоторые из которых приводятся в следующих главах.

Говорят, что с.в. распределена по нормальному закону с параметрами m и σ и записывать X→N(m,σ²) если ее плотность вероятностей задается следующим образом

                                                                                     (4.23)

График плотности (нормальная кривая) представлен на рис. 4.10.

Укажем основные свойства нормального распределения  N(m,σ²) .

1. Нормальная кривая имеет колоколообразную форму, симметричную относительно точки x= m , с точками перегиба, абсциссы которых отстоят от m на ±σ.,

2. Для нормального распределения математическое ожидание  M(X) = m, дисперсия равна σ² и, следовательно, стандартное отклонение равно σ.

3. Как видно из выражения (4.23), нормальное распределение полностью определяется двумя параметрами: m и σ — математическим ожиданием и стандартным отклонением.

График плотности вероятности нормального распределения показывает, что для нормально распределенной случайной величины вероятность отклонения от среднего значения m быстро уменьшается с ростом величины отклонения.

4. Медиана и мода нормального распределения совпадают и равны математическому ожиданию m.

5. Коэффициенты асимметрии и эксцесса нормального распределения равны нулю  (γ3 = 0,γ4 = 0)

Последнее свойство (5) используется для проверки предположения о нормальности распределения генеральной совокупности (гл. 6).

Рис. 4.10. Плотность вероятностей нормального распределения

  Нормированное нормальное распределение

Формула (4.23) описывает целое семейство нормальных кривых, зависящих, как было сказано выше, от двух параметров —m и σ, которые могут принимать любые значения, поэтому возможно бесконечно много нормально распределенных совокупностей.

Чтобы избежать неудобств, связанных с расчетами для каждого конкретного случая по достаточно сложной формуле (4.23), используют так называемое нормированное (или стандартное) нормальное распределение N(0;1), для которого составлены подробные таблицы.

Нормированное нормальное распределение имеет параметры m = 0  и σ = 1  . Это распределение получается, если пронормировать нормально распределенную величину X по формуле:

                                                                                                                                      (4.24)

Плотность распределения вероятностей нормированного нормального распределения записывается в виде:

На кривой нормированного нормального распределения (рис. 4.11) указаны в процентах доли площадей соответствующих отмеченным значениям нормированного отклонения и, по отношению к общей площади под кривой, равной 1 (100%). Эти площади определяют вероятности попадания случайной величины в соответствующие интервалы.

Рис. 4.11. Нормированное нормальное распределение

Таблица значений — ординат нормальной кривой приведена в специальных таблицах. Значения  φ(u) для некоторых характерных нормированных отклонений представлены в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Ординаты нормальной кривой

  Вероятность попадания в заданный интервал

Очень часто исследователя интересует вопрос: какова вероятность того, что изучаемый признак генеральной совокупности находится в заданных границах (например, вероятность того, что результат измерения IQ для группы испытуемых окажется в пределах 115 — 125)? Если предполагается нормальное распределение признака в генеральной совокупности, то получить ответ на этот вопрос очень просто.

Как говорилось ранее, вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал [x1,x2] можно определить по функции распределения:   или с помощью функции плотности вероятностей: .

Итак, вероятность попадания с.в. U-->N(0;1) в заданный интервал:

,

где Ф — принятое обозначение для функции нормированного нормального распределения которое имеет следующий вид:

                                                         ,                                                       (4.25)

при этом  Ф-(u) = 1-Ф(u)  .

Часто представляет интерес вероятность попадания с.в. U → N(0;1)  в симметричный интервал. Тогда

Учитывая свойства функции Лапласа, получаем:

Интеграл, входящий в выражение (4.25), не выражается в элементарных функциях, поэтому для вычисления функции Ф(u) используют вспомогательную функцию — функцию Лапласа (интеграл вероятностей):

                                                                                                              (4.26)

который табулируется. Функция Лапласа является нечетной, т.е. Ф₀(-u)=–Ф₀(u).

В книгах по теории вероятности приведена либо таблица значений функции Лапласа Ф0(u) , Ф(u)либо .

Чтобы найти вероятность попадания нормально распределенной случайной величины  X→N(m,σ²) в заданный интервал  [X1;X2] с помощью функции Лапласа, сначала с.в. X  ормализуется (см. 4.24), а затем  используется следующая формула:

                                                        =                                                       (4.27)

Пример   Вычислить P(0,74<X<3,26)< если X→N(2,9) .

Решение. 

  Правило трех сигм

В табл. 4.2 приведены полученные по формуле (4.28) вероятности того, что нормально распределенная случайная величина отклонится от своего среднего значения m, не более, чем на ±0,5s, ±s, ±2s, ±3s.

Таблица 4.2

Вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал

Из табл. 4.2 следует, что  P[-3σ<(X - m)<3σ = 0,9973.

Это выражение известно в статистике как "правило трех сигм”. Оно означает, что с вероятностью 0,9973 (практически с единичной) нормально распределенная случайная величина окажется в пределах ±3σ от среднего значения. Иначе говоря, отклонения от среднего больше чем на  +3σ  можно ожидать примерно в 1 случае из 370 испытаний.