ПОСТРОЕНИЯ НА ИЗОБРАЖЕНИЯХ ПЛОСКИХ ФИГУР(2) - Геометрия - Математика - Каталог статей

Главная » Статьи » Математика » Геометрия

ПОСТРОЕНИЯ НА ИЗОБРАЖЕНИЯХ ПЛОСКИХ ФИГУР(2)

4.3. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми а и b можно использовать следующий план:

1. На одной из данных прямых, например на прямой b, выбираем некоторую точку W и строим плоскость α, определяемую прямой α и точкой W. 2. В плоскости α через точку W проводим прямую а₁а║а. 3. Строим плоскость β, определяемую пересекающимися прямыми а₁ и b. Ясно, что так как прямая α параллельна прямой а₁ , то прямая α параллельна и плоскости β. Поэтому точки прямой а одинаково удалены от плоскости β. Расстояние от любой точки U прямой а до плоскости β равно расстоянию между скрещивающимися прямыми а и b. Таким образом, задача нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми может быть сведена к задаче нахождения расстояния от точки до плоскости. Задача 11. В основании пирамиды МАВС лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С. Высота пирамиды проектируется в точку О – середину ребра АВ, и угол АМВ=90⁰. На ребре МА взята P – середина этого ребра, а грани МВС взята точка Q, в которой пересекаются медианы грани МВС. Найти расстояние между прямыми АВ и PQ, если ВС=а. Решение (рис. 26). Выполним дополнительные построения в соответствии с рекомендуемым выше планом. 1.

Через прямую АВ и точку P, лежащую на другой заданной прямой, уже проведена плоскость α – это плоскость МАВ. 2. В плоскости МАВ через точку Р проведем прямую РК║АВ. 3. Строим плоскость β, определяемую прямыми PQ и РК. Ясно, что так как точка Q – точка пересечения медиан треугольника МВС, то прямая KQ пройдет через вершину С. Таким образом, в сечении пирамиды плоскостью β получаем треугольник СКР. Так как прямая АВ║РК, то прямая АВ параллельна плоскости СКР. Найдем расстояние, например, от точки О –середины ребра АВ до плоскости СКР. Для этого через точку О проведем плоскость γ , перпендикулярную какой-нибудь прямой. Лежащей в плоскости СКР, например, прямой РК. Так как прямая РК║АВ, то плоскость γ будет тогда перпендикулярна и прямой АВ. Итак, в плоскости МАВ прямая ОМ перпендикулярна прямой АВ, и, легко убедиться, в плоскости АВС прямая ОС перпендикулярна прямой АВ. Тогда плоскость, определяемая пересекающимися прямыми ОМ и ОС, - это и есть плоскость γ перпендикулярная прямой АВ, т. е. и прямой РК.

Находим линию пересечения плоскостей СКР и γ – прямую CL. Расстояние от точки О до прямой СL равно расстоянию между скрещивающимися прямыми АВ и PQ. Найдем его как высоту прямоугольного треугольника LCO. Если ОН – высота этого треугольника, то ОН∙СL=OC∙OL, где из прямоугольного треугольника АВС находим ОС=½АВ=½ а√2, из прямоугольного треугольника МАВ OL=½OM=¼ a√2, и из прямоугольного треугольника LCO

Таким образом, искомое расстояние ОН.

4.4. Угол между скрещивающимися прямыми.

При решении задач на нахождение угла φ между скрещивающимися прямыми а и b в общем случае можно поступить следующим образом: 1. Через одну из данных прямых, например через а, и через какую-нибудь точку W, взятую на другой прямой, проведем плоскость α. 2. В плоскости α через точку W проведем затем прямую а₁║а. Угол между прямыми а₁ и b равен искомому углу φ. (если φ-угол между прямыми, 0 ≤ φ ≤ 90º.) 3. Выбрав на прямой а₁ какую-нибудь точку К и на прямой b – точку L, получим треугольник WKL. Если этот треугольник не прямоугольный, то, подсчитав все его стороны, по теореме косинусов находим cos KWL. Понятно, что если cos KWL>0, то угол острый, т.е. cos φ=cos KWL. Если же cos KWL<0, то угол KWL тупой, т.е. φ=180º-KWL. Но cos(180º- KWL)= - cos KWL. Таким образом, в этом случае cos φ= - cos KWL. Задача 12. Все боковые грани призмы ABCA₁B₁C₁ –квадраты. На ребрах АВ, A₁C₁, A₁B₁ и CС₁ взяты соответственно точки P, Q, R, С₂ – середины этих ребер. Найти угол между прямыми PQ и С₂R. Решение (рис. 27). Выполним сначала необходимые дополнительные построения. 1. Через прямую С₂R и точку Р, взятую на прямой PQ, проведем плоскость α, в результате чего получим сечение призмы – четырехугольник PRС₁C. 2. В плоскости α через точку P проведем прямую PC₃║ С₂R. Угол между прямыми PQ и PC₃ равен искомому углу. 3. На прямой PQ возьмем точку Q, а на прямой PC₃ – точку C₃ и найдем cos QPC₃. Подсчитаем с этой целью стороны треугольника QPC_3. Для выполнения необходимых подсчетов пусть ребро призмы равно а.

В прямоугольном треугольнике PСC₃ СР=½ а√3, СC₃=С₁С₂=½ а. В прямоугольном треугольнике QС₁С₃ С₁Q=½ а, С₁С₃=½ 3а.

Соединим точку R с точкой Q. В прямоугольном треугольнике PQR PR=a, QR=½ a.

Итак, в треугольнике PQС₃ известны все стороны. Далее С₃ Q²= =С₃P²+PQ²-2 С₃P·PQ cos QPC₃, Таким образом, угол QPC₃ тупой, поэтому искомый угол φ=180º- QPC₃, и, значит, cos φ =cos(180º- QPC₃)= - сos QPC₃.

4.5. Угол между прямой и плоскостью.

При решении задач этого типа применяется либо поэтапно-вычислительный метод, либо геометрический. Пусть в задаче требуется найти угол φ между прямой АВ и плоскостью α. При решении задачи поэтапно-вычислительным методом необходимо сначала построить проекцию прямой АВ на плоскость α. Для этого следует из какой-нибудь точки прямой АВ опустить перпендикуляр на плоскость α. Затем необходимо подсчитать какие-нибудь две стороны полученного треугольника, в который входит угол φ, и найти какую-либо тригонометрическую функцию угла φ, а потом и сам угол. Задача 13. В правильной призме ABCA₁B₁C₁ угол между прямыми АB₁ и A₁С равен 2α. Найти угол между прямой BC₁ и плоскостью AСC₁. Решение (рис. 28). Выполним дополнительные построения. В плоскости ABB₁ через точку A₁ проведем прямую, параллельную прямой B₁А, и точку пересечения построенной прямой с прямой ВА обозначим D. Тогда угол DA₁C=2α. Соединим точку D с точкой С и проведем в треугольнике A₁ CD медиану A₁К. Так как заданная призма – правильная, то ее боковые грани – равные прямоугольники, и, следовательно, B₁А=A₁C. Кроме того, B₁А=A₁D. Тогда и A₁D=A₁ C, т. е. в треугольнике A₁CD A₁К┴СD. Проведем далее в равностороннем треугольнике АВС медиану ВМ. Тогда ВМ┴АС. Но ясно и то, что прямая A₁А перпендикулярна плоскости АВС, т. е. A₁ А┴ВМ, или, наоборот, ВМ ┴ A₁А. Так как прямая ВМ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости AСС₁, и, значит, соединив точку М с точкой С₁, получим прямую С₁М – проекцию прямой ВС₁ на плоскость AСС₁ и прямоугольный треугольник С₁ВМ, угол ВС₁М которого является углом между прямой ВС₁ и плоскостью АСС₁.

Рассмотрим прямоугольные треугольники С₁ВМ и А₁DK. У них С₁В=А₁D, и так как в треугольнике АCD CD=АС√3, то DK=½АС√3. Но и а треугольнике АВС ВМ=½АС√3. Таким образом, ВМ=DK. Итак, прямоугольные треугольники С₁ВМ и А₁ DK равны (по гипотенузе и катету). Тогда углы ВС₁М и DА₁K равны. Но ясно, что угол DА₁K=α. Следовательно, и угол ВС₁ М=α.

4.6. Угол между плоскостями.

Пусть П₁ и П₂ – данные плоскости, пересекающиеся по прямой АВ (рис. 29). Через некоторую точку F прямой АВ проведем в плоскости П₁ прямую FC^AB, а в плоскости П₂ прямую FD^AB. Плоскость CFD, таким образом, перпендикулярна прямой АВ, и угол j между прямыми FC и FD является углом между плоскостями П₁ и П₂ . По определению угла между прямыми 0°<j£90°. Одним из методов решения задач на нахождение угла между плоскостями является поэтапно-вычислительный метод. Применение этого метода может опираться на использование формулы , где S_ф-площадь фигуры F, лежащей в одной из плоскостей П₁ или П₂ , S_пр- площадь ортогональной проекции фигуры Ф на другую плоскость из этих плоскостей, j - угол между плоскостями П₁ и П₂ . В некоторых же случаях применение поэтапно-вычислительного метода связано с необходимостью построения угла j между плоскостями и затем треугольника, содержащего угол j или угол j₁=180°-j. Подсчитывая стороны этого треугольника, находят какую-либо тригонометрическую функцию угла j (или угла j₁), а затем и угол j. Если рассматриваемый треугольник не является прямоугольным, то обычно находят cos j (или cos j₁). Если при этом cos j =m³0, то угол j - это искомый угол и j=arcos m; если cos j =m<0, то искомым является угол j₁ =180°--j. В этом случае угол cos j₁=cos(180°--j)= -cos j , и, следовательно, j₁=arcos(-m). Задача 14

. На ребрах АС и МА правильного тетраэдра МАВС взяты соответственно точки К и L – середины этих ребер. Найти угол между плоскостями BLK и МАС. Решение (рис. 30). Построим угол между плоскостями BLK и МАС. Для построения перпендикуляра из точки В на прямую LK – линию пересечения плоскостей BLK и МАС воспользуемся тем, что в треугольнике BLK BL=BK (как медианы равносторонних треугольников). Тогда медиана ВР является перпендикуляром к стороне LK. Так как в треугольнике ALK AL=AK, то медиана АР перпендикулярна стороне LK. Таким образом, угол между прямыми ВР и АР – угол между плоскостями BLK и МАС. Пусть прямая АР пересекает ребро МС в точке N. Найдем угол ВРА треугольника ВРА. Полагая для выполнения подсчетов ребро тетраэдра равным а, получаем

Из прямоугольного треугольника ВРК, в котором находим, что

Теперь в треугольнике ВРА известны все стороны. По теореме косинусов получаем

или

Так как cos BPA<0. то ÐВРА – тупой. Таким образом, углом между прямыми ВР и АР является угол j=180°-ÐВРА. Тогда cos j=cos (180° -ÐВРА)=--cos BPA=

Итак, угол между плоскостями BLK и МАС – j=arccos

4.7. Двугранный и многогранный углы.

Если j - величина двугранного угла, то 0°<j<180°. При решении задач на нахождение двугранного угла могут быть применены геометрический, а также поэтапно-вычислительный методы. Применение поэтапно-вычислительного метода связано необходимость построения линейного угла искомого двугранного угла j и с построением треугольника, содержащего этот угол j или угол j₁ =180°-j.Подсчитывая стороны построенного треугольника, находят угол j.

Задача 15.

В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольный треугольник. Боковое ребро МВ перпендикулярно плоскости основания, и АС=ВС. На ребре МС взята точка К – середина этого ребра. Найти двугранный угол ВКАС, если: а)МВ=АС; б)МВ=2АС. Решение а) (рис. 31, а).

Геометрический метод. Так как прямая МВ перпендикулярна плоскости АВС, то МВ^АС, т. е. И АС^МВ. Таким образом, АС^ВС и АС^МВ, следовательно, АС^ВК, т. е. и ВК^АС (1). Так как в треугольнике МВС МВ=ВС, то ВК не только медиана этого треугольника, но и ВК^МС (2). Из результатов (1) и (2) следует, что прямая ВК перпендикулярна плоскости МАС. Тогда плоскость АВК, проходящая через прямую ВК, также перпендикулярна плоскости МАС. Другими словами, двугранный угол ВАКС равен 90°. б) (рис. 31, б)

Поэтапно-вычислительный метод. Построим линейный угол искомого двугранного угла, ребром которого является прямая АК, а гранями – полуплоскости ВАК и САК.

1. В треугольнике АСК через вершину С проведем прямую, перпендикулярную ребру АК искомого двугранного угла. Подсчитаем для этого все стороны треугольника АСК, полагая, например, АС=а. Тогда ВС=а, МВ=2а , МС=аÖ5, СК=½СМ=½Ö5, АК²=АС² +СК², т. е. АК= .

Если СН^АК, то СН·АК=АС·СК, откуда СН=

. Тогда АН=, и, следовательно, АН:АК=4:9, откуда ясно построение точки Н и затем прямой СН, которая перпендикулярна прямой АК.

2. В треугольнике АВК через вершину В проведем прямую, перпендикулярную ребру АК двугранного угла ВАКС. Для этого подсчитаем стороны треугольника АВК. Получаем АВ=аÖ2, ВК=½МС=½а√2 и АК=

. Если BF^АК, АВ²-AF²=ВК²-KF², или 2 а²-AF²= откуда AF=а, и, следовательно, AF:АК=2:3. Таким образом, ясно построение точки F и затем прямой BF, которая перпендикулярна прямой АК.

3. В треугольнике АСК через точку F проведем прямую FL║СН. Тогда FL^АК. Так как, кроме того, BF^АК, то ÐBFL – линейный угол двугранного угла ВАКС.

4. Соединим точку В с точкой L и подсчитаем стороны треугольника BFL. BF= . Из подобия треугольников AFL и АСН следует, что FL:CH=AF:AH, где AF=a, АН=, СН= . Тогда FL=

. Так как AL==

, то CL=AL – AC=½a. Тогда BL=. Итак, в треугольнике BFL известны все стороны: BF=a, FL=. 5. Из треугольника BFL по теореме косинусов получаем: BL²=BF²+FL²-2BF·FL·cosBFL, или, откуда cosBFL=. Это значит, что двугранный угол ВАКС равен arccos.