| Главная » Статьи » Математика » Геометрия в пространстве |
| Прямые, плоскости, параллельность. Уже такое основное понятие, как параллельность прямых, нуждаетсяв новом определении: две прямые в пространстве называются парал-лельнылт, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Так что не попадайтесь в одну из излюбленных экзаменаторами ловушек — не пытайтесь «доказывать», что через две параллельные прямые можно провести плоскость: это верно по определению параллельности прямых! Знаменитую планиметрическую аксиому о единственности параллельной включают и в аксиомы стереометрии, а с её помощью доказывают главное свойство параллельных прямых в пространстве: Через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и только одну прямую параллельно данной. Сохраняется и другое важное свойство параллельных прямых, называемое транзитивностью параллельности: Если две прямые а и b параллельны третьей прямой с, то они параллельны друг другу. Но доказать это свойство в стереометрии сложнее. На плоскости быть одновременно параллельны третьей (иначе нарушается аксиома параллельных). В пространстве существуют непараллельные и притом непересекающиеся прямые — если они лежат в разных плоскостях. О таких прямых говорят, что они скрещиваются..
На рис. 4 изображён куб; прямые АВ и ВС пересекаются, АВ и CD — параллельны, а АВ и В¹С¹ — скрещиваются. В дальнейшем мы часто будем прибегать к помощи куба, чтобы иллюстрировать понятия и факты стереометрии. Наш куб склеен из шести граней-квадратов. Исходя из этого, мы будем выводить и другие его свойства. Например, можно утверждать, что прямая АВ параллельна C¹D¹, потому что обе они параллельны общей стороне CD содержащих их квадратов.
В стереометрии отношение параллельности рассматривается и для плоскостей: две плоскости или прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек. Прямую и плоскость удобно считать параллельными и в том случае , когда лежит в плоскости. . Для плоскостей и прямых справедливы теоремы о транзитивности: Если две плоскости параллельны третьей плоскости, то о ни параллельны между собой. Если прямая и плоскость параллельны некоторой прямой ( или плоскости), то они параллельны друг другу. Наиболее важный частный случай второй теоремы- признак параллельности прямой и плоскости: Прямая параллельна плоскости, если она параллельна некоторой прямой в этой плоскости. А вот признак параллельности плоскостей: Если две пересекающиеся прямые в одной плоскости пересекающимся прямым в другой Часто используется и такая простая теорема: Прямые, по которым две параллельные плоскости пересекаются третьей, параллельны друг другу. Посмотрим еще раз на куб (рис. 4). Из признака параллельности плоскости АВСD (так как она параллельна прямой АВ в этой плоскости), а противоположные грани куба, в частности А¹В¹С¹D¹ и ABCD, параллельны по признаку параллельности плоскостей: прямые A¹B¹ и B¹С¹ в одной грани соответственно параллельны прямым АВ и ВС в другой. И чуть менее простой пример. Плоскость, содержащая параллельные прямые AA¹ и СС¹, пересекают параллельные плоскости АВСD и A¹B¹C¹D¹ по прямым АС и А¹С¹, значит, эти Следовательно, параллельные плоскости АВ¹С и А¹DC, пересекающие куб по треугольникам. | |||||||||||||||||||
| Просмотров: 5140 | | |||||||||||||||||||
| Всего комментариев: 0 | |
| Пифагор Самосский [3] |
| Математика [45] |
| Алгебра Дж. Буля [1] |
| Алгебра [10] |
| Геометрия [27] |
| Теория вероятности [11] |
| Теория Графов [11] |
| Численные методы оптимизации [4] |
| Дзета-функция Римана [1] |
| Математическая интуиция [3] |
| Методы Рунге — Кутты [7] |
| Уравнения [17] |
| Векторы [5] |
| Математические игры [12] |
| Алгоритмы [3] |
| Нестандартный анализ [9] |
| Вейвлеты [3] |
| Анализ [8] |
| Графики [1] |
| Интегралы [3] |
| Задача Лагранжа [11] |
| Геометрия в пространстве [3] |
| Магический Квадрат [10] |