АБЕЛЯ ТЕОРЕМА
1) А. т. об алгебраических уравнениях :
ни для какого п, большего или равного пяти, нельзя указать формулу, к-рая
выражала бы корни любого уравнения n-й степени через его коэффициенты
при помощи радикалов. Найдена Н. Абелем в 1824 (см. [1]). А. т.
может быть получена также как следствие Галуа теории, из к-рой вытекает
и более общее утверждение: для любого n
≥ 5 существуют алгебраич. уравнения с целыми коэффициентами, корни
к-рых не выражаются через радикалы из рациональных чисел. Современную формулировку
А. т. для уравнений над произвольным полем
2) А. т. для степенных рядов: если степенной ряд
S(z ) = ∑∞ k = 0 αk(z - b
)ᵏ (*)
где αk,b,z-
комплексные числа, сходится при
z = z₀ то он абсолютно и равномерно сходится в любом круге
| z - b| ≤ ρ
радиуса ρ ˂ | z₀ - b| сцентром
в точке b. Установлена Н.
Абелем [2]. Из этой теоремы вытекает, что существует число Rϵ,[0,∞]обладающее
тем свойством, что при | z - b |˂ R
ряд сходится, а при | z - b|˃ R расходится.
Это число R наз. радиусом
сходимости ряда (*) | z - b|˂ R,
а круг наз. кругом сходимости ряда (*).
3) А. т. о непрерывности: если степенной ряд (*) сходится в точке z0 границы
круга сходимости, то он представляет собой непрерывную функцию в любом
замкнутом треугольнике Т с вершинами z₀,z₁,z₂
где z₁,z₂
лежат внутри круга сходимости. В частности,lim S(z ) =S(z ₀) z→z₀, zϵT
Этот предельный переход всегда можно осуществить по радиусу: на
всем радиусе круга сходимости, соединяющем точки b и z₀
ряд(*). будет сходиться равномерно. Эта теорема используется, в
частности, для вычисления суммы степенного ряда, сходящегося в точках на
границе круга сходимости.
4) А. т. для рядов Дирихле: если Дирихле ряд φ(s) =∑∞n = 1αne-λns
,s = σ+it,λn˃0
сходится в точке s₀=σ ₀+it₀то он
сходится в полуплоскости σ ˃ σ₀ и
сходится равномерно внутри любого угла Ɠ |arg(s-s₀)| ≤ θ˂π / 2Является обобщением А. т. для степенных рядов (достаточно взятьλn =.n и обозначить e-s = z) Из теоремы следует, что область
сходимости ряда Дирихле - нек-рая полуплоскость
σ ˃ c где с - абсцисса сходимости ряда.
Для обыкновенного ряда Дирихле (λn=
I.nn)с
известной асимптотикой для сумматорной функции
An =α₁+α₂+...+αn
коэффициентов ряда справедлива следующая теорема: если An=Bns1(Inn)ª+O(nβ)где
B,s1,α- -комплексные
числа,β - действительное числоσ1-1˂ β ˂ σ1, то ряд
Дирихле сходится приσ1˂ σ функцияφ(s)
регулярно продолжается на полуплоскостьβ˂σ
исключая точку
s = s1 причем φ(s) =(α+1)(s - s1)α -1+g(s)еслиα≠-1-2,...,
φ(s)=B(-1)-α/(-α-1)s(s-s1)-α-1In(s-s1)+g(s)
если α=-1,-2...Здесь g(s)- регулярная при σ˃βфункция. Напр., дзета-функция Римана
Ɠ (s)(An=
n,B =1,s1 = 1α =0β ˃ 0)регулярна по крайней мере в
полуплоскости σ ˃ 0 исключая точку s = 1в к-рой она имеет полюс 1-го порядка
с вычетом, равным 1. Эта теорема допускает различные обобщения. Так, если
An=∑kj =1Bjnsj(Inn)αj+O(nβ),где
Bj,sj,αj(1≤j≤k)- любые комплексные
числаσk-1˂ β ˂ σk,˂...˂σ1 и то ряд Дирихле
сходится при σσ1,φ(s)регулярен
в области σ ˃ βисключая точкиs1,s2,...,sk в к-рых
он имеет алгебраич. или логариф-мич. особенности. Теоремы такого типа позволяют
на основании асимптотики An получать
определенные сведения о поведении ряда Дирихле в нек-рой полуплоскости.
|