$AlexLat$

МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ ДЮРЕРА

Магический квадрат, воспроизведённый немецким художником Альбрехтом Дюрером на гравюре "Меланхолия”, известен всем исследователям магических квадратов.

Здесь подробно рассказывается об этом квадрате. Сначала покажу гравюру "Меланхолия” (рис. 1) и магический квадрат, который изображён на ней (рис. 2).

  Рис. 1

              Рис. 2

Теперь покажу этот квадрат в привычном виде (рис. 3):

Рис. 3

Интересно, что два средних числа в последней строке квадрата (они выделены) составляют год создания гравюры  – 1514.

Считают, что этот квадрат, так очаровавший Альбрехта Дюрера, пришёл в Западную Европу из Индии в начале XVI века. В Индии этот квадрат был известен в I веке нашей эры. Предполагают, что магические квадраты были придуманы китайцами, так как самое раннее упоминание о них встречается в китайской рукописи, написанной за 4000-5000 лет до нашей эры. Вот какой древний возраст у магических квадратов!

Рассмотрим теперь все свойства этого удивительного квадрата. Но делать это мы будем на другом квадрате, в группу которого входит квадрат Дюрера. Это означает, что квадрат Дюрера получается из того квадрата, который мы будем сейчас рассматривать, одним из семи основных преобразований магических квадратов, а именно поворотом на 180 градусов. Все 8 квадратов, образующих данную группу, обладают свойствами, которые будут сейчас перечислены, только в свойстве 8 для некоторых квадратов слово "строка” заменится на слово "столбец” и наоборот.

Основной квадрат данной группы вы видите на рис. 4. 

Рис. 4

Теперь перечислим все свойства этого знаменитого квадрата.

Свойство 1.

 Этот квадрат ассоциативен, то есть любая пара чисел, симметрично расположенных относительно центра квадрата, даёт в сумме

  17=1+n². 

Свойство 2.

Сумма чисел, расположенных в угловых ячейках квадрата, равна магической константе квадрата – 34.

Свойство 3.

 Сумма чисел в каждом угловом квадрате 2х2, а также в центральном квадрате 2х2 равна магической константе квадрата.

  Свойство 4.

Магической константе квадрата равна сумма чисел на противоположных сторонах двух центральных прямоугольников 2х4, а именно:

14+15+2+3=34, 12+8+9+5=34.

  Свойство 5.

 Магической константе квадрата равна сумма чисел в ячейках, отмечаемых ходом шахматного коня, а именно: 

1+6+16+11=34, 14+9+3+8, 15+5+2+12=34 и 4+10+13+7=34.

Свойство 6.

 Магической константе квадрата равна сумма чисел в соответствующих диагоналях угловых квадратов 2х2, примыкающих к противоположным вершинам квадрата. Например, в угловых квадратах 2х2, которые выделены на рис. 4, сумма чисел в первой паре соответствующих диагоналей: 1+7+10+16=34 (это и понятно, так как эти числа расположены на главной диагонали самого квадрата). Сумма чисел в другой паре соответствующих диагоналей: 14+12+5+3=34.

  Свойство 7

.Магической константе квадрата равна сумма чисел в ячейках, отмечаемых ходом, подобным ходу шахматного коня, но с удлинённой буквой Г. Показываю эти числа:

1+9+8+16=34, 4+12+5+13=34, 1+2+15+16=34,  4+3+14+13=34.

Свойство 8.

 В каждой строке квадрата есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна 15, и ещё пара тоже радом стоящих чисел, сумма которых равна 19. В каждом столбце квадрата есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна 13, и ещё пара тоже рядом стоящих чисел, сумма которых равна 21.

Свойство 9.

Суммы квадратов чисел в двух крайних строках равны между собой. То же можно сказать о суммах квадратов чисел в двух средних строках. Смотрите:

1² + 14² + 15² + 4² = 13² + 2² + 3² + 16² = 438

12² + 7² + 6² + 9² = 8² + 11² + 10² + 5² = 310

Аналогичным свойством обладают числа в столбцах квадрата.

Свойство 10.

Если в рассматриваемый квадрат вписать квадрат с вершинами в серединах сторон (рис. 5), то:

а) сумма чисел, расположенных вдоль одной пары противоположных сторон вписанного квадрата, равна сумме чисел, расположенных вдоль другой пары противоположных сторон, и каждая из этих сумм равна магической константе квадрата;

б) равны между собой суммы квадратов и суммы кубов указанных чисел:

12² + 14² + 3² + 5² = 15² + 9² + 8² + 2² = 374

12³ + 14³ + 3³ + 5³ = 15³ + 9³ + 8³ + 2³ = 4624

               Рис. 5

Вот такими свойствами обладает магический квадрат с рис. 4.

Следует отметить, что в ассоциативном квадрате, каковым является рассматриваемый квадрат, можно выполнять ещё такие преобразования, как перестановка симметричных строк и/или столбцов. Например, на рис. 6 изображён квадрат, полученный из квадрата с рис. 4 перестановкой двух средних столбцов.

Рис. 6

В полученных такими преобразованиями новых ассоциативных квадратах выполняются не все перечисленные выше свойства, но многие свойства имеют место. Читателям предлагается проверить выполнение свойств в квадрате с рис. 6.