| Главная » Статьи » Математика » Математика |
 Формула Кардано Если воспользоваться современным математическим языком и современной символикой, то вывод формулы Кардано может быть найден с помощью следующих в высшей степени элементарных соображений: ax3+3bx2+3cx+d=0 (1) Если положит где Введем новое неизвестное U с помощью равенства Внося это выражение в (2), получим (3 Отсюда следовательно
и учесть, получающееся в результате выражение для u оказываетсясимметричным относительно знаков «+» и «-», то окончательно получим
Это и есть знаменитая формула Кардано. Если перейти от y вновь к x, то получим формулу, определяющую корень общего уравнения 3-й степени. Молодой человек, так безжалостно обошедшийся с Тарталья, разбирался в математике столь же легко, как и в правах неприхотливой тайны. Феррари находит способ решения уравнения 4-й степени. Кардано поместил этот способ в свою книгу. Что же представляет собой этот способ? Пусть – общее уравнение 4-й степени.
Если положит,то уравнение (1) можно привести к виду где p,q,r – некоторые коэффициенты, зависящие от a,b,c,d,e.Легко видеть, что это уравнение можно записать в таком виде: В самом деле, достаточно раскрыть скобки, тогда все члены, содержащие t, взаимно уничтожается, и мы возвратимся к уравнению (2). Выберем параметр t так ,чтобы правая часть уравнения (3) была полным квадратом относительно y. Как известно, необходимым и достаточным условием этого является обращение в нуль дискриминанта из коэффициентов трехчлена (относительно y), стоящего справа: Получили полное кубическое уравнение, которое мы уже можем решить. Найдем какойлибо его корень и внесем его в уравнение (3), теперь примет вид напряженно писал весь последний год и которая должна была подвести итог его сложной жизни. Он чувствовал приближение смерти. По некоторым сведениям его собственный гороскоп связывал его кончину с 75- летием. Он умер 21сентября 1576г. за 2 дня до годовщины. Имеется версия, что он покончил с собой в ожидании неминуемой смерти или даже чтобы подтвердить гороскоп. В любом случае Кардано – астролог относился к гороскопу серьезно. Замечание о формуле Кардано Проанализируем формулу для решения уравнения затем кубический. Мы сможем извлечь квадратный корень, оставаясь в вещественной области, если Два значения квадратного корня, отличающихся знаком, фигурируют в разных слагаемых для x. Значения кубического корня в вещественной области единственно и получается единственный вещественный корень x при   ,нетрудно убедиться, что он в самом деле имеет единственный вещественный кореньпри имеется двукратный вещественный корень и однократный, а при -трехкратный корень x=0. Продолжим исследование формулы при . Оказывается. Что если при этом уравнение с целыми коэффициентами имеет целочисленный корень, при вычислении его по формуле могут возникнуть промежуточные иррациональности. Например, уравнение имеет единственный корень (вещественный) – x=1. Формула Кардано дает для этого единственного вещественного корня выражение  Значит, Но фактически любое доказательство предполагает использование того, что это выражение является корнем уравнения  . Если же не угадать того, при преобразовании будут возникать неистребимыекубические радикалы. У многих возникало желание восстановить истинную картину событий в ситуации, когда их участники несомненно не говорили всей правды. Для многих было важно установить степень вины Кардано. К концу XIX века часть дискуссий стала носить характер серьезных историко-математических исследований. Математики поняли, какую большую роль в конце XVI века сыграли работы Кардано. Сталоясно то, что еще раньше отмечал Лейбниц: «Кардано был великим человеком при всех его недостатках; без них он был бы совершенством».
| |
| Просмотров: 604 | |
,
.
| Всего комментариев: 0 | |
| Пифагор Самосский [3] |
| Математика [45] |
| Алгебра Дж. Буля [1] |
| Алгебра [10] |
| Геометрия [27] |
| Теория вероятности [11] |
| Теория Графов [11] |
| Численные методы оптимизации [4] |
| Дзета-функция Римана [1] |
| Математическая интуиция [3] |
| Методы Рунге — Кутты [7] |
| Уравнения [17] |
| Векторы [5] |
| Математические игры [12] |
| Алгоритмы [3] |
| Нестандартный анализ [9] |
| Вейвлеты [3] |
| Анализ [8] |
| Графики [1] |
| Интегралы [3] |
| Задача Лагранжа [11] |
| Геометрия в пространстве [3] |
| Магический Квадрат [10] |