Главная » Статьи » Математика » Математика |
Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Во многих задачах механики и техники важно знать характер поведения решения дифференциальных уравнений при изменении аргумента и, в частности, при неограниченном возрастании аргумента. Этими вопросами занимается качественная теория дифференциальных уравнений и ее важнейшее направление – теория устойчивости движения. Основоположником теории устойчивости движения является русский математик и механик А. М. Ляпунов /1857-1918/. Дадим определение устойчивости на примере дифференциальных уравнений второго порядка: Y1=f1(t,Y1,Y2) Y2=f2(t,Y1,Y2) (1) где функции f1 и f2 удовлетворяют условиям теоремы существования и единственности решения в некоторой области D переменных t, Y1, Y2. Пусть Y1=f1(t) и Y2=f2(t) - решение этой системы, удовлетворяющее начальным условиям Y1/t=0=f1(t),Y/t=0=Y20. Пусть также Y1=f1(t) и Y2=f2(t) решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям Y1/t=0=Y10, Y/t=0=Y20. Определение 1.Решение Y1=f1(t), Y2=f2(t) системы (1), удовлетворяющее начальным условиям Y1/t=0=Y10, Y2/t=0=Y20, называется устойчивым по Ляпунову при t®?, если для каждого скольугодно малого e>0 можно указать d>0 такое, что при всех t>0 значениях будут выполняться неравенства /f1(t)-f1(t)/<e , /f2(t)-f2(t)/<e , если начальные условия удовлетворяют неравенствам /Y10-Y10/<d , /Y20-Y20/<d. Поясним смысл этого определения. Очевидно, что выполнение неравенств, содержащихся в определении, означает, что при малых изменениях начальных условиях мало отличаются соответствующие им решения при t>0. Движение Y1=f1(t) , Y2=f2(t) , соответствующее начальным условиям Y1/t=0=Y10, Y2/t=0=Y20 , называется невозмущенным движением, а движение Y1=f1(t) , Y2=f2(t), соответствующее близким начальным условиям Y1/t=0=Y10, Y2/t=0=Y20, называется возмущенным движением. Величины d1=Y10-Y10 , d2=Y20-Y20 называются возмущениями начальных возмущениями текущих координат. Определение 2. Если устойчивое движение удовлетворяет такимусловиям: limf1(t)=f1(t) , limf2(t)=f2(t) то оно называется t®? t®? Асимптотическая устойчивость означает, что при Исследование устойчивости удобно проводить, если от уравнений (1) в исходных координатах Y1 и Y2 перейти к уравнениям в возмущениях X1 и X2: X1=f1(t)-f1(t) , в уравнение (1) соотношений dY1/dt=df1(t)/dt=df1(t)/dt+dX1/dt=f1(t,f1(t)+X1, f2(t)+X2) dY2/dt=df2(t)/dt=df2(t)/dt+dX2/dt=f2(t,f1(t)+X1, f2(t)+X2) Обозначая X2(t,X1,X2)= f2(t,f1(t)+X1, f2(t)+X2) – f2(t,f1(t), f2(t)), получим из последней системы так называемую систему в возмущениях: X1(t)=X1(t,X1,X2) X2(t)=X2(t,X1,X2) Очевидно, что невозмущенному решению Y1=f1(t) ,Y2=f2(t) системы (1) соответствует решение X1(t)=0, X2(t)=0 системы (2) с нулевыми начальными условиями X1/t=0=X10=0 , X2/t=0=X20=0. Тогда на языке возмущений X1(t) и X2(t) определение Ляпунову будет звучать следующим образом. Определение 3. Решение X1(t)=0, X2(t)=0 системы что неравенства / X1(t)/<e , / X2(t)/<e будут выполняться, если выполняются неравенства /X10/<d, /X20/<d. Если при этом Lim X1(t)=0 называется асимптотически устойчивым. Определение что при всех X10 , X20 , удовлетворяющих неравенству X10 +X20<=d, будет выполняться при всех t >=0 неравенство X10(t) +X20(t)<=e, то невозмущенное движение X1(t), X2(t)=0 называется устойчивым, в противном случае – неустойчивым. Если же при этом для устойчивого Lim(X1(t) +X2(t))=0, то движение называется t®? 2 Исследование устойчивости линейных уравнений. Рассмотрим важный частный случай, когда уравнения линейны, Ограничимся случаем автономной системы когда Aij=const. Исследуем на устойчивость X1(t)=0, X2(t)=0. l– некоторые константы, подлежащиеопределению. A21a1 + (A22-l)a2 = 0 Которая имеет нулевое решение относительно a1 и a2 если ее определитель равен нулю, т.е. A11-l A12 =l - (A11- A22)l + (A11A22 - A12A21)=0 A21 A22-l Как известно, это уравнение называется характеристическим уравнением, а его корни l1и l2– характеристическими числами. Определив l1и l2 , найдем две пары коэффициентов (с точностью до произвольного множителя). Если найдены l1, l2, a1, a2, остается построить фундаментальную систему решений и написать общее решение системы. Характер этого решения зависит от типа характеристических чисел l1 и l2 . Характеристические числа действительны и различныЕсли l1 и l2 действительны и различны (l1?l2), то общее решение системы имеет вид X1(t) = C1a11e + C2a21e , X2(t) = C1a12e + C2a22e где C1 и C2 произвольные постоянные: aij - определенные числа. При этом могут А) Характеристические Тогда ясно, что t®? t®? будет асимптотически устойчивым Б) Хотя бы одно из Если l1>0,то t®? или X2(t) неограниченно возрастает при t® + ? т.е. исследуемое движение неустойчиво В) Одно из Пусть например l1<0 а это означает, что любая фазовая траектория L с началом в точке Mo достаточно близкой к точке O(0,0), будет все время оставаться в сколь угодно малой окрестности этой точки, хотя Lima1(t)?0 , Lima2(t)?0. В этом случае решение будет устойчивым, хотя и не t®? Характеристические числа, В этом случае общее решение имеет видX1(t) = (C1a11+ C2a21)e , X2(t) = (C1a12+ C2a22)e. Здесь могут представиться такие ситуации: А) Если l1>0 Б) Если l1>0, t®? Характеристические числа комплексныПусть l1=m+in, l2=m - | |
Просмотров: 1238 | |
Всего комментариев: 0 | |
Пифагор Самосский [3] |
Математика [45] |
Алгебра Дж. Буля [1] |
Алгебра [10] |
Геометрия [27] |
Теория вероятности [11] |
Теория Графов [11] |
Численные методы оптимизации [4] |
Дзета-функция Римана [1] |
Математическая интуиция [3] |
Методы Рунге — Кутты [7] |
Уравнения [17] |
Векторы [5] |
Математические игры [12] |
Алгоритмы [3] |
Нестандартный анализ [9] |
Вейвлеты [3] |
Анализ [8] |
Графики [1] |
Интегралы [3] |
Задача Лагранжа [11] |
Геометрия в пространстве [3] |
Магический Квадрат [10] |