$AlexLat$

Логарифмические уравнения

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное входит в виде аргумента логарифмической функции.

            Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

                                                              ,                                                              (26)

где α - некоторое положительно число, отличное от единицы, b - любое действительное число. Логарифмическое уравнение (26) эквивалентно алгебраическому уравнению

f(x) =α^b.

В простейшем случае, когда f(x) =x, логарифмическое уравнение (26) имеет решение

 x = α^b.

Множество решений логарифмического уравнения вида R(log_ax)=0 , где  R - некоторый многочлен указанного неизвестного, находится следующим образом.

Вводится новая переменная log_ax = y , и уравнение (25) решается как алгебраическое уравнение относительно y. После этого решаются простейшие логарифмические уравнения вида (25).

П р и м е р 1. Решить уравнение

                                                    .                                                    (27)

            Относительно неизвестного log₂x = y   данное уравнение – квадратное:

 y²+y-2 = 0

            Корни этого уравнения: y₁=1,y₂ =-2 , .

            Решая логарифмические уравнения

log₂x =1,log₂x =-2,

получаем решения логарифмического уравнения (27):x₁= 2, x₂=1/4 , .

            П р и м е р 2. Решить уравнение

                                            . 

                                           (28)

            Для того чтобы свести решение данного уравнения к последовательному решению алгебраического и простейших логарифмических уравнений, необходимо прежде всего привести все логарифмы к одному основанию (здесь, например, к основанию 2). Для этого воспользуемся формулой

,

в силу которой . Подставив в уравнение (28) вместо  равную ему величину, получаем уравнение

.

            Заменой  это уравнение сводится к квадратному уравнению относительно неизвестного y:

.y² - y  -6 = 0

Корни этого квадратного уравнения:y₁= 3, y₂ = -2 , . Решаем уравнения   и :

 ⇔ ⇔ ,

⇔ ⇔,

            П р и м е р 3. Решить уравнение

.

            Преобразуя разность логарифмов двух величин в логарифм частного этих величин:

,

сводим данное уравнение к простейшему логарифмическому уравнению

⇔⇔ x = 2.