$AlexLat$

Эту задачу можно решить без всяких инвариантов. Однако для нас она интересна тем, что у нее есть два принципиально разных решения, ис¬пользующих инварианты.
Представим себе 20 ящиков, расположенных в ряд. Переформули¬руем теперь нашу задачу следующим образом: можно ли расположить карточки по ящикам так, чтобы вы¬полнялись два условия:
a) карточки с 0 лежат в соседних ящиках, карточки с 1 — через один ящик, ... , карточки с 9— через девять ящиков;
b) в каждом ящике лежит по од¬ной карточке?
Очевидно, порознь выполнить каж¬дое из условий очень легко. Это и приводит к двум решениям.
Первое решение. Поло¬жим в первый ящик 10 карточек:
Одну - с 0, одну - с 1, ... , одну - с 9. Затем вторую карточку с 0 положим во второй ящик, вторую карточку с 1 - в третий ящик, .... вторую карточку с 9 — в одинадцатый ящик. Условие
а) выполняется. Мы хотим попытаться, не нарушая его, так переложить карточки, чтобы условие 
b) тоже выполнялось. Разрешим перекладывать любые две «одноименные» (с одной и той же цифрой) карточки через одинаковое число ящиков. Нетрудно заметить, что при произвольном разрешенном  перемещении сдвиг в сумме происходит на четное число ящиков. Это подсказывает идею взять в качестве инварианта остаток от деления на 2 суммы номеров ящиков, в которых лежат карточки.
Второе решение. Положим в первый и второй ящики карточки с 0, в третий и четвертый - карточки с 1, ... , в девятнадцатый и двадцатый - карточки с 9. На этот раз выполнено условие
b). Разрешим менять местами любые две карточки. При таком перемещении расстояние между восемью парами «одноименных» карточек не меняется, между двумя - меняется; таким образом, сумма всех этих расстояний..