$AlexLat$

Преобразуем число а, учитывая, что всего у него 2n + 1 цифр, а следовательно, первая единица – разряда
 2n:a = 101010…101 = 102n + 102n-2 + 102n-4 +…+ 102 + 1 =
= (1/(102 -1))(102 – 1)(102n + 102n-2 +…+102 +1) =
= (1/99)(102n+2-1) = (1/99)((10n+1)2 – 1) = (1/99)(10n+1+1)( 10n+1-1).
Теперь рассмотрим два случая.
1)    Пусть n четно.
Тогда сумма 10n+1+1 делится на 11, причем частное от такого деления больше 1, так как 10n+1+1 >11; разность 10n+1-1 делится на 9, причем частное также больше 1, так как 10n+1+1 >11; разность 10n+1-1 делится на 9, причем частное также больше 1. Получилось составное число 
а = ((10n+1+1)/11) ((10n+1-1)/9).
2)    Пусть n нечетно.
В этом случае разность 10n+1-1 делится на 102 – 1= 99 и частное больше 1, поскольку 10n+1-1 > 99.