$AlexLat$

Рассмотрим несколько случаев, в зависимости от p.
При p = 2 число p +2 = 4 – составное, поэтому значение p = 2 отпадает.
При p = 3 получим тройку 3, 5, 7, о которой упоминается в условии задачи.
При p = 5 число p + 2 = 7 – простое, но число p + 4 = 9 – составное, значит, p = 5 нужно отбросить.
При p = 7 число p + 2 = 9 – составное.
При p = 11 число p + 4 = 15 – тоже составное.
Возникает предположение, что подходит только p = 3. Докажем его.
Нетрудно заметить, что значение p = 5, p = 7, p = 11 не подходили потому, что или p + 2 или p + 4 делятся на 3. Убедимся, что так будет всегда при простом p>3.
Простое число, большее 3, не делится на 3 и, следовательно, при делении на 3 может давать в остатке только 1 или 2. Рассмотрим оба случая. 
1)    Пусть p при делении на 3 дает в остатке 1: p = 3k + 1 (kN). Тогда число p + 2 = (3k + 1) + 2 = 3k = 3 делится на 3, причем частное от этого деления больше 1. Значит число p + 2 составное.
2)    Пусть p = 3k + 2 (kN). Тогда число p + 4 = (3k + 2) + 4 = 3k + 6 – составное.