$AlexLat$

Обозначим слагаемое исходной суммы S из первой строки через α1 , из второй - через 10 + α2, из третьей – через 20 +  α3 и т. д., наконец, из десятой – через 90 + α10.
Здесь каждое из натуральных чисел α1, α2, …,α10 заключено в пределах от 1 до 10 , причем эти числа попарно различны, так как, если бы, например, α1 = α2 , то числа α1 и 10 + α2 стояли бы в одном столбце таблицы. Получаем:
S = α1 + ( 10 + α2 ) +( 20 + α3 ) + …+ ( 90 +α10 ) =
= ( 10 + 20 +…+ 90 ) + ( α1 + α2 +…+ α10 ) =
= 450 + (α1 + α2 +…+ α10 ).
Поскольку числа α1, α2,…, α10 попарно различны и принимают все целые значения от 1 до 10 , то каждое из натуральных чисел от 1 до 10 входит в сумму α1 + α2 +…+ α10 в качестве слагаемого ровно один раз. Следовательно,
α1 + α2 +…+ α10 = 1 + 2 +3 +… + 10 = 55,
S = 450 + 55 = 505.
Сумма S и является инвариантом : если в ней одни слагаемые заменить другими, но так, чтобы все слагаемые новой суммы стояли в таблице в разных строках и в разных столбцах, сумма примет, тоже самое значение.