$AlexLat$

Обозначим последовательные натуральные числа строки через а1, а2, а3 и т. д.
По условию суммы
а1 + а2 + а3, а2 + а3 + а4, а3 + а4 + а5, а4 + а5 + а6
и другие четны. Вычитая из каждой суммы, начиная со второй, предыдущую получим, что разности   
а4  - а1, а5 - а2, а6 - а3,…
четны, а следовательно, имеют одинаковую четность пары чисел
а4  и а1, а5 и а2, а6 и а3 и т. д.
Выпишем нечетные суммы, состоящие из четырех соседних чисел:
а1 + а2 + а3+ а4 = (а1 + а2 + а3)+ а4 ,
а2 + а3 + а4+ а5 = (а2 + а3 + а4)+ а5,
а3 + а4 + а5+ а6 = (а3 + а4 + а5)+ а6,…
Отсюда следует, что числа а4, а5, а6 и т. д. нечетны. Но тогда сумма а4 + а5 + а6 нечетна, а это противоречит условию.
Полученное противоречие возникает всякий раз, когда чисел не меньше шести. Попробуем взять пять чисел .
Рассуждая аналогично , устанавливаем, что числа а4, а5 нечётны, а следовательно , по предыдущему, нечетны и числа а1, а2 .Тогда, так как сумма а1 + а2 + а3 чётна , то число а3 чётно .
Сделаем ещё проверку и убедимся в том, что если взять пять чисел а1, а2, а3, а4, а5 , где число а3 чётно, а остальные нечётны, то каждая из сумм   а1 + а2 + а3, а2 + а3 + а4, а3 + а4 + а5 чётна, а каждая из сумм  а1 + а2 + а3 + а4 , а2 + а3 + а4 + а5  нечётна.