$AlexLat$

Изобразим каждую команду точкой, а проведенную ею встречу – отрезком, исходящим из этой точки. Девять точек лучше расположить так, чтобы при последовательном соединении их отрезками образовался выпуклый девятиугольник.
Задача сводиться к следующей: можно ли девять точек соединить отрезками так, чтобы из каждой точки выходили четыре отрезка?  Другими словами, существует ли граф с деятью вершинами, у которого степень каждой вершины равна 4?
Прежде всего проведем все стороны девятиугольника; они будут означать, что каждая команда провела две встречи. 
Для того чтобы получить еще две встречи будем, например, соединять все вершины диагоналями через одну . ( Целесообразно для всех держаться одной и той же системы проведения из них отрезков, иначе решение усложнится. ) После этого все  получается.