$AlexLat$

Обозначим через х0, х1, х2 число нулей, единиц и двоек соответственно. Выполнив один раз разрешенную операцию, мы изменим каждое из этих чисел на 1 и, следовательно, изменим четность всех трех чисел. Когда на доске остается одна цифра, два из чисел х0, x1, х2 становятся равными нулю, а третье — единице. Значит, с самого начала два из этих чисел имеют одну четность, а третье—другую. Поэтому независимо от того, в каком порядке производятся стирания, в конце единице может равняться лишь одно из чисел х0, х1, x.2, которое с самого начала имело не ту четность, что два других. 
Из приведенного решения видно, что если числа х0, х1, х2 имеют одну и ту же четность, то мы не сможем добиться, чтобы на доске осталась одна-единственная цифра. 
Докажите, что если среди чисел х0, х1 х2 есть как четные, так и нечетные, и, кроме того, хотя бы два из них отличны от нуля, то существует такой порядок стираний, что в результате на доске останется' одна цифра.
Изменим условие задачи 3: по¬требуем, .чтобы одни и те же две нерав¬ные цифры стирались два раза, а вместо них записывалась одна цифра, отличная от стертых. Предположим, что снова после некоторого числа опе¬рации на доске осталась одна-единственная цифра. Можно ли зара¬нее, по числу нулей, единиц и двоек, предвидеть, какая это цифра?
Рассуждение с четностью здесь не помогает, ибо в результате выполнения каждой операции одно из чисел  х0, х1, x2 меняет свою четность, а два других сохраняют четность, так что числа, имевшие разную четность, могут теперь получить одну и ту же четность. Однако можно заметить, что остатки от деления чисел х0, х1, х2 на 3 изменяются каждый раз таким образом, что равные остатки остаются равными, а неравные остаются неравными. Дальнейшие рас¬суждения повторяют решение задачи 3.