$AlexLat$

Изобразим школьника точкой, а решенную им задачу – линией исходящей из этой точки. Пусть один из школьников обозначен точкой А.. Проведем из нее линию. Так как каждую задачу решили два школьника , то проведенная линия соединяет точку А с другой точкой В, которая обозначает второго школьника, решившего ту же задачу. Так как каждый школьник решил две задачи, то из точки В должна выходить еще одна линия, которая соединяет точку В с еще одной точкой С и т. д. 
Возможны следующие случаи.
1)    Может получиться шестиугольник. Тогда утверждение задачи выполняется. 
2)    Может получиться четырехугольник и «двуугольник» ; последнее возможно тогда, когда два школьника решили одни и те же задачи.
3)    Могут получиться два треугольника.
4)    Могут получиться три «двуугольника».
Этим исчерпываются все возможности. В каждом из рассмотренных случаев утверждение задачи выполняется