$AlexLat$

Окрасим один из автомобилей в желтый цвет, а остальным автомобилям присвоим номера 1, 2, 3, ..., 24 в том порядке, в каком они располагаются на старте за желтым автомобилем. В центре автодрома установим световое табло, на котором после каждого обгона будем указывать номера автомобилей в том порядке, в каком они следуют за желтым автомобилем.  Тогда обгон, в котором не участвует желтый автомобиль, приводит к тому, что на световом табло меняются местами два соседних числа.
Посмотрим, что произойдет, если какой-нибудь автомобиль обгонит желтый. Если перед этим обгоном числа на табло образовывали перестановку а1, а2,…, а24 , то после обгона они образуют перестановку а2, а3,…, а24, а1. Заметим, что к такой же перестановке можно прийти, выполнив последовательно 23 транспозиции: а1, а2, а3,…, а24 → а2, а1, а3,…, а24 → а2, а3, а1,…, а24 → а2, а3, а1,…, а24 →… → а2, а3,…,а1, а24 → а2, а3,…, а24, а1
Если же желтый автомобиль совершил обгон, то из перестановки а1, а2, ..., а24 получим перестановку а24, а1, а2, а3,…, а23. Этот переход также можно заменить двадцатью тремя  транспозициями.
Таким образом, любой обгон сводится к нечетному числу транспозиций. Если бы общее число обгонов было нечетным, то нечетным оказалось бы и общее число транспозиций.