Главная » Файлы » Математика » Решение неравенств

√x +5 ≥ 7 - x.
25.10.2013, 02:40
Решить неравенство √x +5 ≥ 7 - x.

    Решение.

    При решении неравенств, содержащих  квадратные корни, необходимо помнить, что возведение в квадрат обеих частей неравенства, сохраняя знак неравенства, можно лишь тогда,   когда обе части неравенства принимают неотрицательные значения. Если же обе части неравенства принимают неположительные значения при возведении в квадрат   необходимо изменить знак неравенства на противоположный. В перечисленных случаях возможны появления посторонних решений. Возведение неравенства в квадрат в тех случаях, кода части неравенства имеют противоположные знаки, т. е. одна часть принимает неотрицательные значения, а другая неположительные значения может привести к потере решений.  

    Введем вспогательную переменную. Пусть t = √x + 5, где t 0 ≥, (из определения квадратного корня)
    тогда t² = x + 5; откуда x = t ² - 5 и имеем неравенство t ≥ 7 -  t²   + 5;

    t2 + t - 12 ≤ 0;

    ОДЗ: t є R.

   t² + t - 12  = 0;

   t1 = -4; t2 = 3.


   f(t) = t² + t - 12; эта функция непрерывна на всей области определения. Формулу, задающую функцию, удобнее записать так f(x) = (x - 3)(x + 4).

   f(4) =4² 2 + 4 - 12 = 8 >0;


   Таким образом, функция f(t) = t²2 + t - 12  принимает  значения небольшие 0, если -4 ≤ t ≤ 3
Так как t ≥ 0, то 0 ≤ t4 ≤. 
Осуществим обратный переход к переменной x, тогда

   03. Так как все части неравенства неотрицательны, то возведем их в квадрат
 0 ≤x + 5 ≤ 9, откуда -5≤ x ≤4   и, следовательно, 

   x є [-5; 3].

 Ответ: x є [-5; 3].  
Категория: Решение неравенств | Добавил: alexlat
Просмотров: 341 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]