$AlexLat$

 Обозначим первоначальное количество членов клуба  буквой m, 
знаменатель геометрической прогрессии буквой q. 
Тогда через 6  лет их стало, по условию, 

mq ⁶. 

При этом m,mq,mq²,mq³,mq⁴,mq⁵,mq⁶ — числа натуральные, тогда q — рациональное число. 

Пусть q = n/k,n > k,n, Є,N(прогрессия возрастающая) и дробь уже несократимая.

Тогда m делится без остатка на  степени

k,k²,…,k⁶ т. е.  m = l.k⁶,l€ N

За 6 лет количество членов