$AlexLat$

Вероятность выбрать из N пару взаимно простых чисел равна 6/ π ² ,точнее 

      ___      ξ ( N ; X )                  6                  
ρ = lim  --------------------- = ---------        
      N →∞                                                    

                   N²                            π ²    
Таким образом, плотность взаимно простых чисел в множестве N ² оказывается существует
и равна 6/ π ² ≈ 0, 607... Примерно в 60% случаев вы вытащите из натурального ряда пару  
взаимно простых. И еще удивительно - в теореме Чезаро возникло число π , загадочное и
вездесущее! Вот уж никак не ожидали мы встретить его посередь царства целых чисел!
Доказательство. Строгое доказательство теоремы Чезаро довольно сложно и громоздко.
Но, как говорится, человека (а, в особенности, женщину) убеждает не строгая логика, а эмоция
и правильно подобранные наводящие соображения. Вот и сейчас я схитрю и вместо строгого
доказательства приведу некоторые эвристические рассуждения, призванные убедить читателя,
почему эта теорема вообще должна быть правдоподобна.
Забудем, что существование вероятности (верхнего предела), строго говоря, нужно
кропотливо доказывать. Предположим сразу, что существует вероятность p того, что случайно
выбранные натуральные числа а и b взаимно просты.
Пусть d ∈ N . Через P { S } обозначим, как обычно, вероятность события S . Рассуждаем: Р
{( a , b ) = d } = P { d | a } · P { d | b } · P⎨(a/db/d)=1⎬=
= 1/d·1/d · p = p/d²
Просуммировав теперь эти вероятности по всем возможным значениям d , мы должны
получить единицу:        ∞  p
1 = ΣP{( a , d ) = d } = Σ -------------
d ∈ N                           d = 1d²
 
а сумма ряда
∞   1
Σ -----
d = 1d ²
известна и равна π 2 /6 (см., напр., задачник Демидовича по матанализу, раздел "Ряды
Фурье"). Итак

1 = π ²/6· p

следовательно, p = 6/ π ² .