| Главная » Файлы » Математика » Математика |
Для любой бесконечной цепной дроби
| 30.10.2013, 23:34 | |
| Для любой бесконечной цепной дроби, последовательность δ 1 , δ 2 , δ 3 ,... сходится. Доказательство. Рассмотрим подпоследовательности: P 0/Q 0,P 2/Q 2, ... ,P 2 n/Q 2 n, ... - дроби с четными номерами и P 1/Q 1,P 3/Q 3, ... ,P 2 n +1/Q 2 n +1, ... - дроби с нечетными номерами. Имеем: P 2 n +2/Q 2 n +2 - P 2 n/Q 2 n = δ 2 n +2 - δ 2 n +1 + δ 2 n +1 - δ 2 n = =1/Q 2 n +2 Q 2 n +1+ - 1/Q 2 n +1 Q 2 n < 0, т.к. Q 2 n +2 Q 2 n +1 > Q 2 n +1 Q 2 n . Значит, подпоследовательность дробей с четными номерами монотонно убывает. Аналогично, вторая подпоследовательность монотонно возрастает. Всякий член "четной" последовательности больше всякого члена "нечетной". Действительно, рассмотрим δ 2 n и δ 2 m +1 . Возьмем четное k такое, что k +1 > 2 n и k +1 > 2 m + 1. Тогда δ k - δ k -1 = +1/Q k Q k - 1 > 0, т.е. δ k > δ k -1 . Но ведь δ k < δ 2 n , в силу убывания последовательности "четных", а δ k -1 > δ 2 m +1 , в силу возрастания последовательности "нечетных". Значит, δ 2 n > δ k > δ k -1 > δ 2 m +1 , что и нужно. Получается, что обе последовательности монотонны и ограничены, следовательно, имеют пределы. Кроме того, | δ s - δ s -1 | =1/Q s Q s -1<1/Φ s Φ s -1—— →0, s →∞ где Φ s - s -ый член последовательности Фибоначчи, следовательно пределы обеих подпоследовательностей совпадают. Итак, всякая бесконечная цепная дробь имеет некоторое значение. | |
| Просмотров: 265 | Загрузок: 0 | | |
| Всего комментариев: 0 | |
Категории раздела
| Математика [249] |
| Алгебра [136] |
| Геометрия [416] |
| Тригонометрия [109] |
| Задачи по теории вероятности [60] |
| Нестандартные задачи по Математике [232] |
| Задачи по комбинаторике [168] |
| Элементы математического анализа [51] |
| Смеси,Растворы , Сплавы.Проценты , Прогрессии ,Пропорции,Движение и работа [133] |
| Решение уравнений [190] |
| Функция и Графики [110] |
| Задачи на доказательство [151] |
| Задачи с параметрами [140] |
| Kоординаты и векторы [7] |
| Решение неравенств [229] |
| Разные решения одной задачи_ Одно решение разных задач [56] |
| Контрольные задачи по темам [12] |
| Формулы ,Таблицы, Правила, Теоремы [151] |
| Тесты [72] |
| Программирование [27] |
| Высшая Математика [77] |
| Теория графов [47] |
| Контрольные и самостоятельные работы пр Геометрии [344] |
Друзья сайта
Статистика