Главная » Файлы » Математика » Математика
Qs ≥ 1/√5[(1 + √5/2)s(1 - √5/2)s],s ≥ 0
30.10.2013, 22:23
Qs ≥ 1/√5[(1 + √5/2)s(1 - √5/2)s],s ≥ 0
и равенство достигается только при q 1 = q 2 =...= q s = 1.
Доказательство.
Нам уже известно, что
Q 0 = 0, Q 1 = 1, q i ∈ N , Q s = q s Q s -1 + Q s -2 ≥ Q s -1 + Q s -2 .
Наиболее медленный рост знаменателей будет наблюдаться при Q s = Q s -1 + Q s -2 , т.е.
 при q 1 = q 2 = ... = q s = 1. Это рекуррентное соотношение вместе с начальными условиями
 Q 0 = 0, Q 1 = 1
задает последовательность Фибоначчи. Характеристическое уравнение для рекуррентного
соотношения Фибоначчи:
x² = x + 1;
его корни:
 x 1,2 = 1± √ 5/2;


общее решение:


Подстановка начальных условий в общее решение дает

откуда C 1 = - C 2 = 1/ √ 5.
Впрочем, формула s -ого члена последовательности Фибоначчи достаточно общеизвестна,
ее вывод можно посмотреть, например, в брошюрах А. И. Маркушевича "Возвратные
последовательности" или Н. Н. Воробьева "Числа Фибоначчи" из серии "Популярные лекции по
математике", регулярно выходившей для школьников в издательстве "Наука".
Итак, знаменатели подходящих дробей растут не медленнее последовательности
Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...
Категория: Математика | Добавил: alexlat
Просмотров: 266 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]