$AlexLat$

Пусть всюду ниже θ ( а ) - произвольная мультипликативная функция.
Свойство 1. θ (1) = 1.
Доказательство.
 Пусть а - то самое натуральное число, для которого θ ( а ) ≠ 0. Тогда 
θ ( а ·1) = θ ( а ) · θ (1) = θ ( а ).
 
Свойство 2.

где р ₁ , р ₂ ,..., р _n - различные простые числа.
Доказательство очевидно.
 
Свойство 3. Обратно, мы всегда построим некоторую мультипликативную функцию θ ( a ),
если зададим θ (1) = 1 и произвольно определим θ ( р α ) для всех простых р и всех
натуральных α , а для остальных натуральных чисел доопределим функцию θ ( a ) используя
равенство
.
Доказательство сразу следует из основной теоремы арифметики.