$AlexLat$

 По какому модулю числа 1 и 5 составляют приведенную 

Постройте многочлены f(x) степени не выше 2, которые 

удовлетворяют условиям:

а) f(0) = 1, f(1) = 3, f(2) = 3;

б) f(−1) = −1, f(0) = 2, f(1) = 5;

в) f(−1) = 1, f(0) = 0, f(2) = 4.

Пусть (n, 10) = 1, m < n, (m, n) = 1, и t— наименьшее 

число такое, что 10^t − 1∶ n. 

Пусть p > 2— простое число. Сколько существует способов 

раскрасить вершины правильного p-угольника в a цветов? 

(Раскраски,которые можно совместить поворотом, считаются 

одинаковыми.) 

Получите формулу и выведите из нее малую теорему Ферма.

Пусть p— простое число. Докажите, что любой простой 

делитель числа 2^p − 1 имеет вид 2kp + 1.

Пусть α и b— два положительных числа, причем α > b. 

Построим по этим числам две последовательности 

{α_n} и {b_n} по правилам:

Докажите, что обе эти последовательности имеют один 

и тот же предел.

Этот предел называется арифметико-геометрическим 

средним чисел α, b и обозначается μ(α, b).

Пусть числа x₁, x₂, . . . , xr образуют приведенную систему

вычетов по модулю m. Для каких α и b числа y_j = ax_j+b (j = 1, . . . , r)

также образуют приведенную систему вычетов по модулю m?

С помощью индукции докажите следующее утверждение, 

эквивалентное малой теореме Ферма: если  p — простое число, 

то для любого натурального a справедливо сравнение

Точка D расположена на стороне AB треугольника ABC (т.е. СD – чевиана). 

Докажите, что        
AC²  ⋅ DB  + BC²  ⋅ AD  – CD²  ⋅ AB  =  AB ⋅ AD ⋅ BD