$AlexLat$

Решите в целых числах уравнения:

Один из корней уравнения x²+ αx + b = 0 равен 1 + √3.

Найдите α и b, если известно, что они рациональны.

Пользуясь схемой Горнера, разложите x⁴ + 2x³ − 3x² − 4x + 1

по степеням x + 1

Пусть x, y, z— положительные числа и xyz(x + y + z) = 1.

Найдите наименьшее значение выражения (x + y)(x + z)

Рассмотрим графики функций y = x² + px + q, которые пересекают 

оси координат в трех различных точках. Докажите, что все

окружности, описанные около треугольников с вершинами в этих 

точках, имеют общую точку

Решите в комплексных числах следующие квадратные 

уравнения:

а) z² + z + 1 = 0;               г) z² − (3 + 2i)z + 6i = 0;

б) z² + 4z + 29 = 0;           д) z² − (3 − 2i)z + 5 − 5i = 0;

в) z² − (2 + i)z + 2i = 0;    е) z² − (5 + 2i)z + 5 + 5i = 0.

Решите в комплексных числах уравнения:

а) z⁴ − 4z³ + 6z² − 4z − 15 = 0; 

в) z⁴ + (z − 4)⁴ = 32;

б) z³ + 3z² + 3z + 3 = 0; 

г)(1 − ix/1 + ix)= i.

Какое наибольшее значение может принимать наибольший 

общий делитель чисел α и b, если известно, что α · b ≠ 600?

Какое наибольшее значение может принимать наибольший 

общий делитель чисел α и b, если известно, что α · b ≠ 600?

Докажите, что если положительная квадратичная 

иррациональность α = A +√D/B

разлагается в чисто периодическую цепную дробь, 

то сопряженная ей квадратичная иррациональность 

α ’ = A −√D/B принадлежит интервалу(−1; 0).

Натуральные числа α₁, α₂, . . . , α₄₉ удовлетворяют равенству

Какое наибольшее значение может принимать их наибольший общий

делитель?

Натуральные числа α₁, α₂, . . . , α₄₉ удовлетворяют равенству

Какое наибольшее значение может принимать их наибольший общий

делитель?

Для каких чисел α решением сравнения αx ≡ 1 (mod p) 

будет само число α?

 Докажите, что если все коэффициенты уравнения

—целые нечетные числа, то ни один из корней этого уравнения не 

может быть рациональным.